【基本概念】：

二分圖：

二分圖又稱作二部圖，是圖論中的一種特殊模型。?設(shè)G=(V,E)是一個(gè)無向圖，如果頂點(diǎn)V可分割為兩個(gè)互不相交的子集(A,B)，并且圖中的每條邊（i，j）所關(guān)聯(lián)的兩個(gè)頂點(diǎn)i和j分別屬于這兩個(gè)不同的頂點(diǎn)集(i?in?A,j?in?B)，則稱圖G為一個(gè)二分圖。?

無向圖G為二分圖的充分必要條件是，G至少有兩個(gè)頂點(diǎn)，且其所有回路的長(zhǎng)度均為偶數(shù)。?

最大匹配：

給定一個(gè)二分圖G，在G的一個(gè)子圖M中，M的邊集中的任意兩條邊都不依附于同一個(gè)頂點(diǎn)，則稱M是一個(gè)匹配.　　選擇這樣的邊數(shù)最大的子集稱為圖的最大匹配問題，如果一個(gè)匹配中，圖中的每個(gè)頂點(diǎn)都和圖中某條邊相關(guān)聯(lián)，則稱此匹配為完全匹配，也稱作完備匹配.??

最小覆蓋：

最小覆蓋要求用最少的點(diǎn)（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）讓每條邊都至少和其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)聯(lián)。可以證明：最少的點(diǎn)（即覆蓋數(shù)）＝最大匹配數(shù)?

最小路徑覆蓋：?

用盡量少的不相交簡(jiǎn)單路徑覆蓋有向無環(huán)圖Ｇ的所有結(jié)點(diǎn)。解決此類問題可以建立一個(gè)二分圖模型。把所有頂點(diǎn)i拆成兩個(gè)：Ｘ結(jié)點(diǎn)集中的i和Y結(jié)點(diǎn)集中的i',如果有邊i->j，則在二分圖中引入邊i->j'，設(shè)二分圖最大匹配為m,則結(jié)果就是n-m。?

增廣路（增廣軌）：

若P是圖G中一條連通兩個(gè)未匹配頂點(diǎn)的路徑，并且屬于M的邊和不屬于M的邊(即已匹配和待匹配的邊)在P上交替出現(xiàn)，則稱P為相對(duì)于M的一條增廣路徑（舉例來說，有A、B集合，增廣路由A中一個(gè)點(diǎn)通向B中一個(gè)點(diǎn)，再由B中這個(gè)點(diǎn)通向A中一個(gè)點(diǎn)……交替進(jìn)行）。?

增廣路徑的性質(zhì)：

1?有奇數(shù)條邊。

2?起點(diǎn)在二分圖的左半邊，終點(diǎn)在右半邊。

3?路徑上的點(diǎn)一定是一個(gè)在左半邊，一個(gè)在右半邊，交替出現(xiàn)。（其實(shí)二分圖的性質(zhì)就決定了這一點(diǎn)，因?yàn)槎謭D同一邊的點(diǎn)之間沒有邊相連，不要忘記哦。）

4?整條路徑上沒有重復(fù)的點(diǎn)。

5?起點(diǎn)和終點(diǎn)都是目前還沒有配對(duì)的點(diǎn)，而其它所有點(diǎn)都是已經(jīng)配好對(duì)的。

6?路徑上的所有第奇數(shù)條邊都不在原匹配中，所有第偶數(shù)條邊都出現(xiàn)在原匹配中。

7?最后，也是最重要的一條，把增廣路徑上的所有第奇數(shù)條邊加入到原匹配中去，并把增廣路徑中的所有第偶數(shù)條邊從原匹配中刪除（這個(gè)操作稱為增廣路徑的取反），則新的匹配數(shù)就比原匹配數(shù)增加了1個(gè)。

了解了增廣路的定義以及性質(zhì)之后，我們仔細(xì)理解第7條性質(zhì)。因?yàn)樵鰪V路徑的長(zhǎng)度為奇數(shù)，我們不妨設(shè)為2*K+1，又因?yàn)榈谝粭l是非匹配邊，且匹配邊與非匹配邊交替出現(xiàn)，所以非匹配邊有K+1條，匹配邊有K條。此時(shí)，我們做取反操作，則匹配邊的個(gè)數(shù)會(huì)在原來的基礎(chǔ)上+1。求最大匹配的“匈牙利算法”即是此思想：無論從哪個(gè)匹配開始，每一次操作都讓匹配數(shù)+1，不斷擴(kuò)充，直到找不到增廣路徑，此時(shí)便得到最大匹配。

匈牙利算法：

算法的核心就是根據(jù)一個(gè)初始匹配不停的找增廣路，直到?jīng)]有增廣路為止。

匈牙利算法的本質(zhì)實(shí)際上和基于增廣路特性的最大流算法還是相似的，只需要注意兩點(diǎn)：

（一）每個(gè)X節(jié)點(diǎn)都最多做一次增廣路的起點(diǎn)；

（二）如果一個(gè)Y節(jié)點(diǎn)已經(jīng)匹配了，那么增廣路到這兒的時(shí)候唯一的路徑是走到Y(jié)節(jié)點(diǎn)的匹配點(diǎn)（可以回憶最大流算法中的后向邊，這個(gè)時(shí)候后向邊是可以增流的）。

找增廣路的時(shí)候既可以采用dfs也可以采用bfs，兩者都可以保證O(nm)的復(fù)雜度，因?yàn)槊空乙粭l增廣路的復(fù)雜度是O(m)，而最多增廣n次，dfs在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中更加簡(jiǎn)短。

匈牙利算法的基本模式：

1、?初始時(shí)最大匹配為空

2、?while?（找得到增廣路徑）

3、?do??把增廣路徑加入到最大匹配中。

如果二分圖的左半邊一共有n個(gè)點(diǎn)，最多找n條增廣路徑，如果圖中有m條邊，每一條增廣路徑把所有邊遍歷一遍，所以時(shí)間復(fù)雜度為O（n*m）;

算法思想：?

算法的思路是不停的找增廣軌,?并增加匹配的個(gè)數(shù),增廣軌顧名思義是指一條可以使匹配數(shù)變多的路徑,在匹配問題中,增廣軌的表現(xiàn)形式是一條"交錯(cuò)軌",也就?是說這條由圖的邊組成的路徑,?它的第一條邊是目前還沒有參與匹配的,第二條邊參與了匹配,第三條邊沒有..最后一條邊沒有參與匹配,并且始點(diǎn)和終點(diǎn)還沒?有被選擇過.這樣交錯(cuò)進(jìn)行,顯然?他有奇數(shù)條邊.那么對(duì)于這樣一條路徑,我們可以將第一條邊改為已匹配,第二條邊改為未匹配...以此類推.也就是將所有?的邊進(jìn)行"反色",容易發(fā)現(xiàn)這樣修?改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配數(shù)增加了一對(duì).另外,單獨(dú)的一條連接兩個(gè)未匹配點(diǎn)的邊顯然也是交錯(cuò)軌.可以證明,?當(dāng)不能再找到增廣軌時(shí),就得到了一個(gè)?最大匹配.這也就是匈牙利算法的思路.、

二分圖匹配中較為重要的三個(gè)公式：

二分圖最小頂點(diǎn)覆蓋?=?二分圖最大匹配；

DAG圖的最小路徑覆蓋?=?節(jié)點(diǎn)數(shù)（n）-?最大匹配數(shù)；

二分圖最大獨(dú)立集?=?節(jié)點(diǎn)數(shù)（n）-?最大匹配數(shù)；

模版：

#include?<iostream>
#include?<cstdio>
#include?<cstring>
using?namespace?std;
const?int?N=1001;
int?n1,n2,k;
//n1,n2為二分圖的頂點(diǎn)集,其中x∈n1,y∈n2
int?map[N][N],vis[N],link[N];
//link記錄n2中的點(diǎn)y在n1中所匹配的x點(diǎn)的編號(hào)
int?find(int?x)
{
????int?i;
????for(i=1;i<=n2;i++)
????{
????????if(map[x][i]&&!vis[i])//x->i有邊,且節(jié)點(diǎn)i未被搜索
????????{
????????????vis[i]=1;//標(biāo)記節(jié)點(diǎn)已被搜索
????????????//如果i不屬于前一個(gè)匹配M或被i匹配到的節(jié)點(diǎn)可以尋找到增廣路
????????????if(link[i]==0||find(link[i]))
????????????{
????????????????link[i]=x;//更新
????????????????return?1;//匹配成功
????????????}
????????}????????
????}
????return?0;
}
int?main()
{
????int?i,x,y,s=0;
????scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&k);
????for(i=0;i<k;i++)
????{
????????scanf("%d%d",&x,&y);
????????map[x][y]=1;
????}
????for(i=1;i<=n1;i++)
????{
????????memset(vis,0,sizeof(vis));
????????if(find(i))
????????????s++;
????}
????printf("%d\n",s);
????return?0;
}

練習(xí)題：

POJ 3041 Asteroids? 鏈接：?http://poj.org/problem?id=3041

題意：在某個(gè)n*n的空間內(nèi)，分布有一些小行星，某人在里面打炮，放一槍后某一行或某一列的行星就都沒了，讓求最少的打炮數(shù)。

思路：以行號(hào)x作為n1點(diǎn)集，列號(hào)y作為n2點(diǎn)集，若某位置有行星，則x->y有邊，建立二分圖。?則問題可轉(zhuǎn)化為，求最少的點(diǎn)覆蓋所有的邊。

根據(jù)公式1：?二分圖最小頂點(diǎn)覆蓋?=?二分圖最大匹配

代碼：

?1?#include?<iostream>
?2?#include?<cstdio>
?3?#include?<cstring>
?4?using?namespace?std;
?5?const?int?N=1001;
?6?int?n,k;
?7?int?map[N][N],vis[N],link[N];
?8?int?find(int?x)
?9?{
10?????int?i;
11?????for(i=1;i<=n;i++)
12?????{
13?????????if(map[x][i]&&!vis[i])
14?????????{
15?????????????vis[i]=1;
16?????????????if(link[i]==0||find(link[i]))
17?????????????{
18?????????????????link[i]=x;
19?????????????????return?1;
20?????????????}
21?????????}????????
22?????}
23?????return?0;
24?}
25?int?main()
26?{
27?????int?i,x,y,s=0;
28?????scanf("%d%d",&n,&k);
29?????for(i=0;i<k;i++)
30?????{
31?????????scanf("%d%d",&x,&y);
32?????????map[x][y]=1;
33?????}
34?????for(i=1;i<=n;i++)
35?????{
36?????????memset(vis,0,sizeof(vis));
37?????????if(find(i))
38?????????????s++;
39?????}
40?????printf("%d\n",s);
41?????return?0;
42?}
43

POJ 1274 The Perfect Stall?鏈接： ? http://poj.org/problem?id= 1274

代碼：

?1?#include?<iostream>
?2?#include?<cstdio>
?3?#include?<cstring>
?4?using?namespace?std;
?5?const?int?N=510;
?6?int?map[N][N],vis[N],link[N];
?7?int?n,m;
?8?int?find(int?x)
?9?{
10?????int?i;
11?????for(i=1;i<=m;i++)
12?????{
13?????????if(!vis[i]&&map[x][i])
14?????????{
15?????????????vis[i]=1;
16?????????????if(!link[i]||find(link[i]))
17?????????????{
18?????????????????link[i]=x;
19?????????????????return?1;
20?????????????}
21?????????}
22?????}
23?????return?0;
24?}
25?int?main()
26?{
27?????int?i,j,s,t,a;
28?????while(~scanf("%d%d",&n,&m))
29?????{
30?????????memset(map,0,sizeof(map));
31?????????memset(link,0,sizeof(link));
32?????????memset(vis,0,sizeof(vis));
33?????????for(i=1;i<=n;i++)
34?????????{
35?????????????scanf("%d",&t);
36?????????????for(j=1;j<=t;j++)
37?????????????{
38?????????????????scanf("%d",&a);
39?????????????????map[i][a]=1;
40?????????????}
41?????????}
42?????????s=0;
43?????????for(i=1;i<=n;i++)
44?????????{
45?????????????memset(vis,0,sizeof(vis));
46?????????????if(find(i))
47?????????????????s++;
48?????????}
49?????????printf("%d\n",s);
50?????}
51?????return?0;
52?}
53

?

POJ 1469 COURSES?

題解：http://www.cnblogs.com/pony1993/archive/2012/08/13/2636394.html?
?

?

POJ 1325 Machine Schedule(二分圖最小點(diǎn)集覆蓋)?

題解：http://www.cnblogs.com/pony1993/archive/2012/08/13/2636916.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的二分图的最大匹配—匈牙利算法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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