? 筆試面試中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些考察動(dòng)態(tài)規(guī)劃方面的題目，以前沒(méi)有接觸過(guò)，現(xiàn)在初學(xué)做個(gè)整理。

1. 什么是動(dòng)態(tài)規(guī)劃？
???????? 和分治法一樣，動(dòng)態(tài)規(guī)劃（dynamicprogramming）是通過(guò)組合子問(wèn)題而解決整個(gè)問(wèn)題的解。
???????? 分治法是將問(wèn)題劃分成一些獨(dú)立的子問(wèn)題，遞歸地求解各子問(wèn)題，然后合并子問(wèn)題的解。
???????? 動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用于子問(wèn)題不是獨(dú)立的情況，也就是各子問(wèn)題包含公共的子子問(wèn)題。
???????? 此時(shí)，分治法會(huì)做許多不必要的工作，即重復(fù)地求解公共的子問(wèn)題。動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法對(duì)每個(gè)子問(wèn)題只求解一次，將其結(jié)果保存起來(lái)，從而避免每次遇到各個(gè)子問(wèn)題時(shí)重新計(jì)算答案。
2. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的設(shè)計(jì)
兩種方法：
???????? 自頂向下（又稱記憶化搜索、備忘錄）：基本上對(duì)應(yīng)著遞歸函數(shù)實(shí)現(xiàn)，從大范圍開(kāi)始計(jì)算，要注意不斷保存中間結(jié)果，避免重復(fù)計(jì)算
???????? 自底向上（遞推）：從小范圍遞推計(jì)算到大范圍
動(dòng)態(tài)規(guī)劃的重點(diǎn)：
???????? 遞歸方程+邊界條件
3. 爬樓梯問(wèn)題
???????? 一個(gè)人每次只能走一層樓梯或者兩層樓梯，問(wèn)走到第80層樓梯一共有多少種方法。
???????? 設(shè)DP[i]為走到第i層一共有多少種方法，那么DP[80]即為所求。很顯然DP[1]=1, DP[2]=2（走到第一層只有一種方法：就是走一層樓梯；走到第二層有兩種方法：走兩次一層樓梯或者走一次兩層樓梯）。同理，走到第i層樓梯，可以從i-1層走一層，或者從i-2走兩層。很容易得到：
???????? 遞推公式：DP[i]=DP[i-1]+DP[i-2]
???????? 邊界條件：DP[1]=1?? DP[2]=2
???????? (a)自頂向下的解法：

[cpp]?view plaincopy

long?long?dp[81]?=?{0};/*用于保存中間結(jié)果?

否則會(huì)重復(fù)計(jì)算很多重復(fù)的子問(wèn)題*/??

long?long?DP(int?n)??

{??

????if(dp[n])??

????????return?dp[n];??

????if(n?==?1)??

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????if(n?==?2)??

????????return?2;??

????dp[n]?=?DP(n-1)?+?DP(n-2);??

????return?dp[n];?????

}??

???????? (b)自底向上的解法：

[cpp]?view plaincopy

int?i;??

long?long?dp[81];?/*?注意當(dāng)n超過(guò)75時(shí)，結(jié)果值將超過(guò)int范圍?*/??

dp[1]?=?1;??

dp[2]?=?2;??

for(i=3;?i?<=?80;?i++)??

????dp[i]?=?dp[i-1]?+?dp[i-2];??

4. 最長(zhǎng)上升子序列
???????? 對(duì)于序列：4 1 2 24，它的最長(zhǎng)上升子序列是1 2 4，長(zhǎng)度為3。
???????? 對(duì)于序列：4 2 4 25 6，它的最長(zhǎng)上升子序列是2 4 5 6，長(zhǎng)度為4
???????? 設(shè)a[i]表示原序列，設(shè)DP[i]表示以第i個(gè)數(shù)結(jié)尾的最長(zhǎng)上升序列的長(zhǎng)度，那么很顯然想導(dǎo)出DP[i]的值，需要在DP[k](1<=k<i)中找出滿足a[k]<a[i]最大的一項(xiàng)。假設(shè)第kk項(xiàng)是我們找到的答案，那么第i個(gè)數(shù)就可以接在第kk個(gè)數(shù)之后，成為以第i個(gè)數(shù)結(jié)尾的最長(zhǎng)升序列。如果沒(méi)有找到答案，換言之第i個(gè)數(shù)比前面的數(shù)都要小，那么DP[i]=1，也即生成了從自己開(kāi)始又以自己結(jié)尾的最長(zhǎng)升序列。綜上，我們很容易得出：
???????? 遞推公式：DP[i]=max(DP[k]+1,DP[i])? 1<=k<i
???????? 邊界條件：DP[i]=1?????????????????? 1<=i<=n
???????? 算法復(fù)雜度為O(n^2)

[cpp]?view plaincopy

void?RiseSequence(int?Array[],?int?num)??

{??

#define?MAX_LENGTH??30??

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????????int?SequenceValue;??/*?max?length?ending?with?this?num?*/??

????????int?PreviousIndex;??/*?record?the?previous?number?*/??

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????int?i;??

????for(i?=?0;?i?<?num;?i++)??

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????????ArrayInfo[i].SequenceValue?=?1;??

????????ArrayInfo[i].PreviousIndex?=?-1;??

????????for(j?=?0;?j?<?i;?j++)??

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????????????if(Array[j]?<?Array[i]?&&?(ArrayInfo[j].SequenceValue?+?1?>?ArrayInfo[i].SequenceValue))??

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????????????????ArrayInfo[i].SequenceValue?=?ArrayInfo[j].SequenceValue?+?1;??

????????????????ArrayInfo[i].PreviousIndex?=?j;??

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????????????temp.SequenceValue?=?ArrayInfo[i].SequenceValue;??

????????????temp.PreviousIndex?=?i;??

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????for(i?=?0;?i?<?temp.SequenceValue;?i++)??

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????????printf("%d??",?Array[temp.PreviousIndex]);??/*?in?reverse?order?*/??

????????temp.PreviousIndex?=?ArrayInfo[temp.PreviousIndex].PreviousIndex;??

????}??

????printf("\nthe?max?rising?sequence?length?is?%d\n",?temp.SequenceValue);??

}??

5. 最長(zhǎng)公共子序列
???????? 給定兩個(gè)序列X和Y，稱序列Z是X和Y的公共子序列如果Z既是X的一個(gè)子序列，又是Y的一個(gè)子序列。例如，如果X={a,b,c,b,d,a,b} Y={b,d,c,a,b,a} 那么序列{b,c,a}就是X和Y的一個(gè)公共子序列，但是它并不是X和Y的最長(zhǎng)公共子序列，因?yàn)樗拈L(zhǎng)度為3。而同為X和Y公共子序列的{b,c,b,a}，長(zhǎng)度為4，因?yàn)檎也坏介L(zhǎng)度為5或更大的公共子序列，所以X和Y的最長(zhǎng)公共子序列長(zhǎng)度就為4。
???????? 假設(shè)兩個(gè)序列數(shù)組分別為a，b。定義f(i,j)為計(jì)算到a數(shù)組第i個(gè)數(shù)、b數(shù)組第j個(gè)數(shù)時(shí)所得到的最長(zhǎng)公共子序列的長(zhǎng)度。這時(shí)有兩種情況：
???????? 1.假如a[i]=b[j]，那么f(i,j)=f(i-1,j-1)+1
???????? 2.假如a[i]!=b[j]，那么f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-1))
???????? 邊界條件為：f(i,0)=0???? 1<=i<=len(a)
?????????????????????????????? f(0,j)=0???? 1<=j<=len(b)
???????? 算法復(fù)雜度：O(n^2)，len(a)表示數(shù)組a的長(zhǎng)度。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划算法学习的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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