機器人動力學方程比較復雜，通常每一個參數矩陣都非常龐大，這里介紹幾個簡單結構的動力學方程，對于一般的控制算法，可以在這幾個動力學方程中進行驗證。

1、歐拉-拉格朗日動力學方程

（不考慮摩擦和末端受力）可以寫成：

∑j=1ndij(q)q¨j+∑i=1n∑j=1ncijk(q)qi˙qj˙+gi(q)=τi∑j=1ndij(q)q¨j+∑i=1n∑j=1ncijk(q)qi˙qj˙+gi(q)=τi

用矩陣形式表示為：

D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+G(q)=τD(q)q¨+C(q,q˙)q˙+G(q)=τ
其中： cijk=12(?bij?qk+?bik?qj??bjk?qi)cijk=12(?bij?qk+?bik?qj??bjk?qi)

2、兩連桿笛卡爾臂動力學方程

注：分別計算連桿和電機轉子的質量、轉動慣量。

D=[ml1+mm2+Im1+Il200ml2+Im2]D=[ml1+mm2+Im1+Il200ml2+Im2]
C=0C=0
G=[(ml1+ml2+mm2)g0]G=[(ml1+ml2+mm2)g0]

完整動力學方程為：

(ml1+mm2+Im1+Il2)d1¨+(ml1+ml2+mm2)g=τ1(ml2+Im2)d2¨=τ2(ml1+mm2+Im1+Il2)d1¨+(ml1+ml2+mm2)g=τ1(ml2+Im2)d2¨=τ2

其中，mlimli 表示連桿的質量， mmimmi 表示電機轉子的質量， ImiImi 表示電機轉子關于其轉動軸的轉動慣量。gg 表示重力加速度矢量， didi 表示平動關節的關節變量。 τiτi 表示關節所需力矩。

兩連桿笛卡爾臂應用實例

直角坐標機器人還廣泛運用于教學演示、物料搬運、碼垛、機床上下料、點膠、噴涂、檢測、3c 裝配、包裝等領域。

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2、兩連桿平面臂動力學方程

注：連桿和電機看做整體。

d11=m1l2c1+m2(l21+l2c2+2l1lc2cos(θ2))+I1+I2d11=m1lc12+m2(l12+lc22+2l1lc2cos(θ2))+I1+I2
d12=d21=m2(l2c2+l1lc2cos(θ2))+I2d12=d21=m2(lc22+l1lc2cos(θ2))+I2
d22=m2l2c2+I2d22=m2lc22+I2

C=[hq2˙?hq1˙hq2˙+hq1˙0]C=[hq2˙hq2˙+hq1˙?hq1˙0]
其中， h=?m2l1lc2sin(q2)h=?m2l1lc2sin(q2)

g1=(m1lc1+m2l1)gcos(q1)+m2lc2gcos(q1+q2))g1=(m1lc1+m2l1)gcos(q1)+m2lc2gcos(q1+q2))
g2=m2lc2gcos(q1+q2)g2=m2lc2gcos(q1+q2)

完整動力學方程為：

d11q1¨+d12q2¨+c11q1˙+c12q2˙+g1=τ1d11q1¨+d12q2¨+c11q1˙+c12q2˙+g1=τ1
d21q1¨+d22q2¨+c21q1˙+c22q2˙+g2=τ2d21q1¨+d22q2¨+c21q1˙+c22q2˙+g2=τ2

其中，mimi 表示連桿的質量， lili 表示連桿的長度， lcilci 表示連桿質心的長度， IiIi 表示連桿關于其轉動軸的轉動慣量。gg 表示重力加速度矢量， qiqi 表示連桿的轉動角度（轉動關節的關節變量）。

兩連桿機械臂是最簡單的多連桿轉動關節串聯機器人，大量的控制算法研究和驗證都是在兩連桿機械臂上完成的。只要賦予其參數值，就可以完成控制算法的研究中模型的建模。

一組可行的賦值方案是：

g=9.81g=9.81

l1=l2=1l1=l2=1

lc1=lc2=0.5lc1=lc2=0.5

m1=m2=50m1=m2=50

I1=I2=10I1=I2=10

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3、帶遠程驅動的兩連桿平面臂動力學方程

注：連桿和電機看做整體。

D(p)=[m1l2c1+m2l2c2+I1m2l1lc2cos(p2?p1)m2l1lc2cos(p2?p1)m2l2c2+I2]D(p)=[m1lc12+m2lc22+I1m2l1lc2cos(p2?p1)m2l1lc2cos(p2?p1)m2lc22+I2]

C=[m2l1lc2sin(p2?p1)q˙20amp;0?m2l1lc2sin(p2?p1)q˙1]C=[m2l1lc2sin(p2?p1)q˙2amp;00?m2l1lc2sin(p2?p1)q˙1]

G=[(m1lc1+m2l1)gcos(p1)m2lc2cos(p2)]G=[(m1lc1+m2l1)gcos(p1)m2lc2cos(p2)]

完整動力學方程為：

d11p1¨+d12p2¨+c11p1˙+g1=τ1d21p1¨+d22p2¨+c22p2˙+g2=τ2d11p1¨+d12p2¨+c11p1˙+g1=τ1d21p1¨+d22p2¨+c22p2˙+g2=τ2

其中，mimi 表示連桿的質量， lili 表示連桿的長度， lcilci 表示連桿質心的長度， IiIi 表示連桿關于其轉動軸的轉動慣量。gg 表示重力加速度矢量， pipi 表示連桿的轉動角度（轉動關節的關節變量）。

可以看到，當第二個連桿電機固定在基座上的時候，第一、二連桿之間的科氏力消失。

因此，具體分析的時候，當驅動該連桿的電機不在該連桿上的時候，要把連桿和電機拆開，分別進行計算。

參考文獻

馬克 W. 斯龐等著，賈振中譯，機器人建模和控制（Robot Modeling and Control），機械工業出版社，2016.07

Bruno Siciliano etc 著，張國良等譯，機器人學 建模、規劃與控制（Robotics：Modelling，planning and Control），西安交通大學出版社，2015.11

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器人动力学建模实例：二连杆机械臂的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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