在現代控制理論中，因為狀態方程都是用矩陣形式來表示的，所以經常或用到關于矩陣的函數。

矩陣函數是利用收斂的矩陣的冪級數來定義的。

f(A)=∑k=0∞ckAk,A∈Cn?n,ρ(A)<R

1、定義：
設復變函數 f(z)在|z|<R解析，矩陣 A∈Cn?n的譜半徑 ρ(A)<R, 若 A 的 Jordan 標準型為

A=TJT?1,J=diag(J1,J2,…,Jp)

這里 Ji=λiImI+Hmi，i=1,2,…,p, Hmi 為冪零矩陣。則有矩陣函數：

f(A)=Tf(J)T?1=Tdiag(J1,J2,…,Jp)T?1
f(Ji)=f(λi)Imi+?+1(mi?1)!f(mi?1)(λi)Hmi?1mi

根據定義，可以直接求出 eA,eAt等的值。

2、導數與積分

ddtA(t)=(ddtaij(t))m?n
∫A(t)dt=(∫aij(t)dt)m?n

可以直接求出 eA,eAt等的 “導數與積分” 的值

3、矩陣 A，B∈Cn?n，若AB=BA,則有

eAtB=BAtA,?t∈C

eAeB=eBeA=eA+B

ddteA(t)=AeA(t)=eA(t)A

ddtcos(A(t))=?Asin(A(t))

ddtsin(A(t))=Acos(A(t))

總結

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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