問題描述：

約束問題的最優(yōu)解可以描述為：

s.t.?minf(x)gi(x)≥0,i=1,?,mhj(x)=0,j=1,?,l

考慮約束問題： ，其中，f(x),gi(x),hj(x) 連續(xù)。

或者

s.t.?minf(x)g(x)≥0,h(x)=0, ，
其中， g(x)=(g1(x),?,gm(x))Th(x)=(h1(x),?,hl(x))T

令問題的可行域是：

D={x|gi(x)hj(x)≥0,i=1,?,m.≥0,j=1,?,l.} ，

如何求解約束問題？？？

罰函數(shù)法是序列無約束問題算法的典型代表。罰函數(shù)法的基本思想是構(gòu)造輔助函數(shù)F,把原來的約束問題轉(zhuǎn)化為求極小化輔助函數(shù)的無約束問題。
如何構(gòu)造輔助函數(shù)，是求解問題首要問題。

一、外點(diǎn)罰函數(shù)法

基本思想：構(gòu)造輔助函數(shù)Fμ:Rn→R???(μ>0) 。構(gòu)造函數(shù)在可行域內(nèi)部與原問題的取值相同，在可行域外部，其取值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于目標(biāo)函數(shù)的取值。
1、對(duì)于約束問題：

s.t.minf(x)hj(x)=0,j=1,?,l ，

可定義輔助函數(shù)：

F(x,μ)=f(x)+μ∑j=1lh2j(x)

2、對(duì)于約束問題：

s.t.?minf(x)gi(x)≥0,i=1,?,m ，

可定義輔助函數(shù)：

F(x,μ)=f(x)+μ∑i=1m(max{0,gj(x)})2

3、對(duì)于一般問題：
可定義輔助函數(shù)：

F(x,μ)=f(x)+μP(x)

其中， P(x)=∑mi=1?(gi(x))+∑lj=1ψ(hj(x))， ?{=>0,y≥00,y<0， ψ{=>0,y≥00,y≠0，

典型的取法有： ?=(max{0,?gi(x)})α， ψ=|hj(x)|β???(α≥1,β≥1)

通過這些輔助函數(shù)，可以把約束問題轉(zhuǎn)換為無約束問題：

minF(x,μ)=f(x)+μQ(x)

其中 μ 是很大的數(shù)，通常取一個(gè)趨向于無窮大的嚴(yán)格遞增正數(shù)列 {μk}，Q(x) 是連續(xù)函數(shù)。

具體步驟：

1、給定初始點(diǎn)、初始罰因子，放大系數(shù)，允許誤差 x(0),μ1,c>1,?>0，設(shè) k=1

2、以 x(k?1)為初點(diǎn)，求解無約束問題： minF(x,μ)=f(x)+μkQ(x)，得極小點(diǎn) x(k)

3、若 μkQ(x(k))<?，停止，得極小點(diǎn) x(k)；否則，令 μk+1=cμk，置 K:=k+1，轉(zhuǎn)步驟（2）

二、內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)法

基本思想：內(nèi)點(diǎn)法產(chǎn)生的點(diǎn)列從可行域的內(nèi)部逼近問題的解。構(gòu)造輔助(光滑)函數(shù)，該函數(shù)在嚴(yán)格可行域外無窮大，且當(dāng)自變量趨于可行域邊界時(shí)，函數(shù)值趨于無窮大。

適合類型：

s.t.?minf(x)gi(x)≥0,i=1,?,m ，
定義域： S={x|gi(x)≥0,i=1,2,?,m}
當(dāng) μ→0時(shí)，無約束問題 minFμ=F(x,μ) 的解趨于原有約束問題的解。

定義障礙函數(shù)：

F(x,μ)=f(x)+μB(x)
其中，當(dāng)自變量趨于可行域邊界時(shí)，連續(xù)函數(shù) B(x)→0,μ是很小的正數(shù)。

可通過求解：

minF(x,μ)s.t.x∈int?S 得到原問題的近似解。

輔助函數(shù)：

B(x)=∑i=1m1gi(x)
B(x)=?∑log?gi(x)

具體步驟：
1、給定初始點(diǎn)、初始罰因子，縮小系數(shù)，允許誤差 x(0),μ1,β∈(0,1),?>0，設(shè) k=1

2、以 x(k?1)為初點(diǎn)，求解無約束問題： minF(x,μ)=f(x)+μkB(x)，得極小點(diǎn) x(k)

3、若 μkB(x(k))<?，停止，得極小點(diǎn) x(k)；否則，令 μk+1=βμk，置 K:=k+1，轉(zhuǎn)步驟（2）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的罚函数法求解约束问题最优解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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