在機器人學中，表示旋轉變換的有旋轉矩陣、歐拉角、角/度軸和單位四元數。

##1、四元數的表示

四元數是由復數擴展而來：

$$a+bi?\omega +xi+yj+zk$$

四元數表示為（齊次形式）：

$$q=(\omega ,x,y,z)$$

或者（標量/向量形式）：

$$q=(\omega ,v)$$

##2、單位四元數表示旋轉：

• 對于3D旋轉：

坐標系繞軸 $ r $ 旋轉 $ \theta $ 可以用四元數表示為：

$$\omega =cos(\theta /2)$$

$$(x,y,z)=v=sin(\theta /2)\hat{r}$$

• 3D旋轉的逆

若 $q$ 是單位四元數，則

$$q=(\omega ,v)=(cos(\theta /2),sin(\theta /2)\hat{r})=(cos(?\theta /2),sin(?\theta /2)\hat{r})=(\omega ,?v)=q^{?}$$

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四元數就是 軸/角 的進化，解決了 軸/角 無法表示轉角位零的情況。

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##3、四元數旋轉

對向量 $ \overrightarrow p $ 和四元數 $q$, $p$ 可看做四元數 $ p= (0, \overrightarrow p) $, 向量 $ p $ 旋轉 $q$ 后為：

$$p^{\prime }=qp{q}^{?1}$$

附:

$i^2=j^2=k^2=ijk=?1$
$ij=k,jk=i,ki=j$
$ji=?k,kj=?i,ik=?j$

單位四元數：

${\omega }^2+x^2+y^2+z^2=1$

##參考：

http://blog.csdn.net/silangquan/article/details/39008903
https://www.zhihu.com/question/23005815
http://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/
Bruno Siciliano 等，機器人學 建模、規劃與控制[M]，西安交通大學出版社，2013.11
勃拉坎茨. 四元數在剛體走位問題中的應用[M]. 國防工業出版社, 1977.

總結

以上是生活随笔為你收集整理的单位四元数(unit quaternion)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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