在機器人學中，表示旋轉(zhuǎn)變換的有旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角、角/度軸和單位四元數(shù)。

##1、四元數(shù)的表示

四元數(shù)是由復數(shù)擴展而來：

$$a+bi?\omega +xi+yj+zk$$

四元數(shù)表示為（齊次形式）：

$$q=(\omega ,x,y,z)$$

或者（標量/向量形式）：

$$q=(\omega ,v)$$

##2、單位四元數(shù)表示旋轉(zhuǎn)：

• 對于3D旋轉(zhuǎn)：

坐標系繞軸 $ r $ 旋轉(zhuǎn) $ \theta $ 可以用四元數(shù)表示為：

$$\omega =cos(\theta /2)$$

$$(x,y,z)=v=sin(\theta /2)\hat{r}$$

• 3D旋轉(zhuǎn)的逆

若 $q$ 是單位四元數(shù)，則

$$q=(\omega ,v)=(cos(\theta /2),sin(\theta /2)\hat{r})=(cos(?\theta /2),sin(?\theta /2)\hat{r})=(\omega ,?v)=q^{?}$$

---

四元數(shù)就是 軸/角 的進化，解決了 軸/角 無法表示轉(zhuǎn)角位零的情況。

---

##3、四元數(shù)旋轉(zhuǎn)

對向量 $ \overrightarrow p $ 和四元數(shù) $q$, $p$ 可看做四元數(shù) $ p= (0, \overrightarrow p) $, 向量 $ p $ 旋轉(zhuǎn) $q$ 后為：

$$p^{\prime }=qp{q}^{?1}$$

附:

$i^2=j^2=k^2=ijk=?1$
$ij=k,jk=i,ki=j$
$ji=?k,kj=?i,ik=?j$

單位四元數(shù)：

${\omega }^2+x^2+y^2+z^2=1$

##參考：

http://blog.csdn.net/silangquan/article/details/39008903
https://www.zhihu.com/question/23005815
http://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/
Bruno Siciliano 等，機器人學 建模、規(guī)劃與控制[M]，西安交通大學出版社，2013.11
勃拉坎茨. 四元數(shù)在剛體走位問題中的應用[M]. 國防工業(yè)出版社, 1977.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的单位四元数(unit quaternion)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。