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编程问答

旋转矩阵、欧拉角、四元数、轴/角之间的转换

發布時間：2025/6/17 编程问答 21 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了旋转矩阵、欧拉角、四元数、轴/角之间的转换小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

在機器人學中，表示旋轉的有四種方式。不同的人可能習慣于用不同的方法，現將四種方式之間的轉換整理出來如下。

旋轉矩陣

旋轉矩陣R表示坐標系`O-x'y'z'`中的向量坐標變換為同一向量在坐標系`O-xyz`中的坐標的變換矩陣（transformation matrix）。 p=Rp' p'=R'p旋轉矩陣屬于特殊正交群（special orthonormal group）；正交矩陣，每一列為單位矩陣，行列式為1。- 描述了兩個坐標系之間的相對指向。- 表示了同一點在不同坐標系下（原點相同，即只有轉動，沒用平動）的坐標之間的坐標變換。- 是將向量在同一坐標系下進行旋轉的算子。

歐拉角（RPY）

繞Z軸旋轉稱為回轉（Roll），繞Y軸旋轉稱為俯仰（Pitch），繞X軸旋轉稱為偏轉（Yaw）。

{A}為參考坐標系，將{A}分別按順序沿 $x_A,y_A,z_A$ 旋轉 $γ,β,α\gamma, \beta, \alpha$ 后，和{B}重合，{A}和{B}之間的旋轉方程：
$BARxyz=(γ,β,α)=R(zA,α)R(yA,β)R(xA,α)_B^A R_{xyz} = (\gamma, \beta, \alpha) = R(z_A, \alpha)R(y_A, \beta)R(x_A,\alpha )$
四元數
是角/軸的擴展。
軸/角
描述一個坐標系沿某一條直線旋轉一定的角度，即與另一個坐標系重合。

經常要用到他們之間的相互轉換。

##一、旋轉矩陣

###1、旋轉矩陣轉換為歐拉角

$BARxyz(γ,β,α)=[r11r12r13r21r22r23r31r32r33]_B^A R_{xyz} (\gamma, \beta, \alpha)= \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}$

${β=atan2(?r31,r112+r212)α=atan2(r21,r11),ifβ∈[?π/2,π/2]γ=atan2(r32,r33),ifβ∈[?π/2,π/2]\begin{cases} \beta = atan2(-r_{31}, \sqrt{r_{11}^2 + r_{21}^2}) \\ \alpha = atan2(r_{21}, r_{11}), if \beta \in [-\pi/2,\pi/2]\\ \gamma = atan2(r_{32},r_{33}), if \beta \in [-\pi/2,\pi/2] \end{cases}$
或者：
${β=atan2(?r31,r112+r212)α=atan2(?r21,?r11),ifβ∈[π/2,3π/2]γ=atan2(?r32,?r33),ifβ∈[π/2,3π/2]\begin{cases} \beta = atan2(-r_{31}, \sqrt{r_{11}^2 + r_{21}^2}) \\ \alpha = atan2(-r_{21}, -r_{11}), if \beta \in [\pi/2,3\pi/2]\\ \gamma = atan2(-r_{32},-r_{33}), if \beta \in [\pi/2,3\pi/2] \end{cases}$

###2、旋轉矩陣轉化為角/軸

$\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}$

$θ=acos(r11+r22+r33?12)\theta =acos(\frac{ r_{11} + r_{22} + r_{33} -1}{2})$
$r→=12sinθ[r32?r23r13?r31r21?r12]\overrightarrow r = \frac{1}{2sin \theta}\begin{bmatrix} r_{32}-r_{23} \\ r_{13}-r_{31} \\ r_{21} - r_{12} \end{bmatrix}$

###3、旋轉矩陣轉化為四元數

$\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}$

$\frac {\sqrt { r_{11} + r_{22} + r_{33} +1}}{2}$

$v→=12[sgn(r32?r23)r11?r22?r33+1sgn(r13?r31)r22?r11?r33+1sgn(r21?r12)r33?r22?r11+1]\overrightarrow v = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} sgn (r_{32}-r_{23}) \sqrt {r_{11} - r_{22} - r_{33} +1} \\ sgn(r_{13}-r_{31}) \sqrt {r_{22} - r_{11} - r_{33} +1}\\ sgn(r_{21}-r_{12}) \sqrt {r_{33} - r_{22} - r_{11} +1} \end{bmatrix}$

##二、歐拉角（RPY）

1、歐拉角轉換為旋轉矩陣

$BARxyz(γ,β,α)=[cαcβcαsβsγ?sαcγcαsβcγ?sαsγsαcβsαsβsγ?cαcγsαsβcγ?cαsγ?sβcβsγcβcγ]_B^A R_{xyz} (\gamma, \beta, \alpha) = \begin{bmatrix} c_\alpha c_ \beta & c_\alpha s_ \beta s_ \gamma - s_ \alpha c_ \gamma & c_\alpha s_ \beta c_\gamma - s_ \alpha s_ \gamma \\ s_\alpha c_ \beta & s_\alpha s_ \beta s_ \gamma - c_ \alpha c_ \gamma & s_\alpha s_ \beta c_\gamma - c _\alpha s_ \gamma \\ -s_ \beta & c_\beta s_\gamma & c_\beta c_\gamma \end{bmatrix}$

##三、四元數

1、四元數轉化為旋轉矩陣

$\begin{bmatrix} 2(w^2+v_x^2)-1 & 2(v_xv_y-wv_z) & 2(v_xv_z+wv_x) \\ 2(v_xv_y+wv_z) & 2(w^2+v_y^2)-1 & 2(v_yv_z-wv_x) \\ 2(v_xv_z-wv_x) & 2(v_yv_z+wv_x) & 2(w^2+v_z^2)-1 \end{bmatrix}$

##四、軸/角

1、軸/角轉化為旋轉矩陣

$\begin{bmatrix} r_x^2(1-c\theta) + c\theta & r_xr_y(1-c\theta) -r_zs\theta & r_xr_z(1-c\theta) +r_ys\theta \\ r_xr_y(1-c\theta) +r_zs\theta & r_y^2(1-c\theta) + c\theta & r_yr_z(1-c\theta) -r_xs\theta \\ r_xr_z(1-c\theta) -r_ys\theta & r_yr_z(1-c\theta) +r_xs\theta & r_z^2(1-c\theta) + c\theta \end{bmatrix}$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的旋转矩阵、欧拉角、四元数、轴/角之间的转换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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