文章目錄

• 一. 相關概念
• • 1. 簡單 析取 合取 式
  • • ( 1 ) 簡單合取式
    • ( 2 ) 簡單析取式
  • 2. 極小項
  • • ( 1 ) 極小項 簡介
    • ( 2 ) 極小項 說明
    • ( 3 ) 兩個命題變項 的 極小項
    • ( 4 ) 三個命題變項 的 極小項
    • ( 5 ) 極小項 成真賦值 公式 名稱 之間 的 轉化 與 推演
  • 3. 極大項
  • • ( 1 ) 極大項 簡介
    • ( 2 ) 極大項 說明
    • ( 3 ) 兩個命題變項的極大項
    • ( 4 ) 三個命題變項的極大項
    • ( 5 ) 極大項 成假賦值 公式 名稱 之間 的 轉化 與 推演
• 二. 題目解析
• • 1. 使用等值演算方式求 主析取范式 和 主合取范式
  • 2. 使用 真值表法 求 主析取范式 和 主合取范式

一. 相關概念

1. 簡單 析取 合取 式

( 1 ) 簡單合取式

簡單合取式 :

• 1.組成 : 命題變元 ( $p$ ) 或 命題變元否定式 ( $?p$ ) ;
• 2.概念 : 有限個 命題變元 或其 否定式 組成的合取式 , 稱為 簡單合取式 ;
• 3.示例 :
  • ① 單個命題變元 : $p$ ;
  • ② 單個命題變元否定式 : $?p$
  • ③ 兩個 命題變元 或其否定式 構成的合取式 : $p\wedge ?q$
  • ④ 三個 命題變元 或其否定式 構成的合取式 : $p\wedge q\wedge r$

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( 2 ) 簡單析取式

簡單析取式 :

• 1.組成 : 命題變元 ( $p$ ) 或 命題變元否定式 ( $?p$ ) ;
• 2.概念 : 有限個 命題變元 或其 否定式 組成的析取式 , 稱為 簡單析取式 ;
• 3.示例 :
  • ① 單個命題變元 : $p$ ;
  • ② 單個命題變元否定式 : $?p$
  • ③ 兩個 命題變元 或其否定式 構成的析取式 : $p\vee ?q$
  • ④ 三個 命題變元 或其否定式 構成的析取式 : $p\vee q\vee r$

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2. 極小項

( 1 ) 極小項 簡介

極小項 : 極小項 是 一種 簡單合取式 ;

• 1.前提 ( 簡單合取式 ) : 含有 $n$ 個 命題變項 的 簡單合取式 ;
• 2.命題變項出現次數 : 每個命題變項 均 以 文字 的 形式 在其中出現 , 且 僅出現 一次 ;
• 3.命題變項出現位置 : 第 $i$ ( $1\le i\le n$ ) 個文字出現在 左起 第 $i$ 個位置 ;
  • $n$ 是指命題變項個數 ;
• 4.極小項總結 : 滿足上述三個條件的 簡單合取式 , 稱為 極小項 ;
• 5.$m_i$ 與 $M_i$ 之間的關系 : ① $?m_i?M_i$ ② $?M_i?m_i$

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( 2 ) 極小項 說明

關于 極小項 的 說明 :

• 1.極小項個數 : $n$ 個 命題變元 會 產生 $2^n$ 個 極小項 ;
• 2.互不等值 : $2^n$ 個極小項 均 互不等值 ;
• 3.極小項 : $m_i$ 表示 第 $i$ 個極小項 , 其中 $i$ 是該極小項 成真賦值 的 十進制表示 ;
• 4.極小項名稱 : 第 $i$ 個極小項 , 稱為 $m_i$ ;

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( 3 ) 兩個命題變項 的 極小項

兩個命題變項 $p,q$ 的 極小項 :

• 1.先寫出 極小項 名稱 : 從 $0$ 開始計數 , $m_0,m_1,m_2,m_3$ ;
• 2.然后寫出成真賦值 : $0,1,2,3$ 對應的二進制形式 , 即 $00,01,10,11$ ;
• 3.最后寫公式 ( 簡單合取式 ) :
  • ① 公式形式 : 公式是簡單合取式 , $p\wedge q$ , 其中 每個命題變項 $p,q$ 之前都可能帶著 否定符號 $?$ ;
  • ② 滿足成真賦值 : 該公式需要滿足 其 上述 $00,01,10,11$ 賦值是成真賦值 , 即根據成真賦值 , 反推出其公式 ;
  • ③ 分析 : 成真賦值 為 $0,0$ , 合取符號 $\wedge$ 兩邊都要為 真 , 賦值為 0 , 那么 對應命題變項 要帶上 $?$ 符號 ;
  • ④ 對應 : 凡是 $0$ 賦值的 , 帶 $?$ 符號 ; 凡是 $1$ 賦值的 , 對應 正常 命題變項 ;

公式成真賦值名稱

$?p\wedge ?q$	$00$	$m_0$
$?p\wedge q$	$01$	$m_1$
$p\wedge ?q$	$10$	$m_2$
$p\wedge q$	$11$	$m_3$

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( 4 ) 三個命題變項 的 極小項

三個命題變項 $p,q,r$ 的 極小項 :

• 1.先寫出 極小項 名稱 : 從 $0$ 開始計數 , $m_0,m_1,m_2,m_3,m_4,m_5,m_6,m_7$ ;
• 2.然后寫出成真賦值 : $0,1,2,3,4,5,6,7$ 對應的二進制形式 , 即 $000,001,010,011,100,101,110,111$ ;
• 3.最后寫公式 ( 簡單合取式 ) :
  • ① 公式形式 : 公式是簡單合取式 , $p\wedge q\wedge r$ , 其中 每個命題變項 $p,q,r$ 之前都可能帶著 否定符號 $?$ ;
  • ② 滿足成真賦值 : 該公式需要滿足 其 上述 $000,001,010,011,100,101,110,111$ 賦值是成真賦值 , 即根據成真賦值 , 反推出其公式 ;
  • ③ 分析 : 成真賦值 為 $0,0,0$ , 三個命題變項都要為 真 , 賦值為 0 , 那么對應命題變項要帶上 $?$ 符號 ;
  • ④ 對應 : 凡是 $0$ 賦值的 , 帶 $?$ 符號 ; 凡是 $1$ 賦值的 , 對應 正常 命題變項 ;

公式成真賦值名稱

$?p\wedge ?q\wedge ?r$	$000$	$m_0$
$?p\wedge ?q\wedge r$	$001$	$m_1$
$?p\wedge q\wedge ?r$	$010$	$m_2$
$?p\wedge q\wedge r$	$011$	$m_3$
$p\wedge ?q\wedge ?r$	$100$	$m_4$
$p\wedge ?q\wedge r$	$101$	$m_5$
$p\wedge q\wedge ?r$	$110$	$m_6$
$p\wedge q\wedge r$	$111$	$m_7$

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( 5 ) 極小項 成真賦值 公式 名稱 之間 的 轉化 與 推演

極小項 成真賦值 公式 名稱 之間 的 轉化 與 推演 :

• 1.成真賦值 到 公式 之間的推演 : 公式 的 成真賦值列出 , 就是成真賦值 ; 根據成真賦值 寫出 公式 , 0 對應的 命題變項 帶 否定 $?$ , 1 對應 正常的命題變項 ;
• 2.名稱 到 成真賦值 之間的 推演 : 這個 最簡單 , 直接將 下標 寫成 二進制形式 即可 ;
• 3.公式 到 名稱 之間的 推演 : 直接推演 比較困難 , 必須通過 成真賦值 過渡一下 , 先寫出 成真賦值 , 然后將其當做 二進制數 轉為 十進制的下標即可 ;

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3. 極大項

( 1 ) 極大項 簡介

極大項 : 極大項 是 一種 簡單析取式 ;

• 1.前提 ( 簡單析取式 ) : 含有 $n$ 個 命題變項 的 簡單析取式 ;
• 2.命題變項出現次數 : 每個命題變項 均 以 文字 的 形式 在其中出現 , 且 僅出現 一次 ;
• 3.命題變項出現位置 : 第 $i$ ( $1\le i\le n$ ) 個文字出現在 左起 第 $i$ 個位置 ;
  • $n$ 是指命題變項個數 ;
• 4.極大項總結 : 滿足上述三個條件的 簡單析取式 , 稱為 極大項 ;

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( 2 ) 極大項 說明

關于 極大項 的 說明 :

• 1.極大項個數 : $n$ 個 命題變元 會 產生 $2^n$ 個 極大項 ;
• 2.互不等值 : $2^n$ 個極大項 均 互不等值 ;
• 3.極大項 : $m_i$ 表示 第 $i$ 個極大項 , 其中 $i$ 是該極大項 成假賦值 的 十進制表示 ;
• 4.極大項名稱 : 第 $i$ 個極大項 , 稱為 $M_i$ ;
• 5.$m_i$ 與 $M_i$ 之間的關系 : ① $?m_i?M_i$ ② $?M_i?m_i$

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( 3 ) 兩個命題變項的極大項

兩個命題變項 $p,q$ 的 極大項 :

• 1.先寫出 極大項 名稱 : 從 $0$ 開始計數 , $M_0,M_1,M_2,M_3$ ;
• 2.然后寫出成假賦值 : $0,1,2,3$ 對應的二進制形式 , 即 $00,01,10,11$ ;
• 3.最后寫公式 ( 簡單析取式 ) :
  • ① 公式形式 : 公式是簡單析取式 , $p\wedge q$ , 其中 每個命題變項 $p,q$ 之前都可能帶著 否定符號 $?$ ;
  • ② 滿足成假賦值 : 該公式需要滿足 其 上述 $00,01,10,11$ 賦值是成假賦值 , 即根據成假賦值 , 反推出其公式 ;
  • ③ 分析 : 成假賦值 為 $0,0$ , 合取符號 $\wedge$ 兩邊都要為 假 , 賦值為 0 , 那么對應的命題變項是 正常的命題變項, 不帶否定符號 $?$ ;
  • ④ 對應 : 凡是 $1$ 賦值的 , 帶 $?$ 符號 ; 凡是 $0$ 賦值的 , 對應 正常 命題變項 ;

公式成假賦值名稱

$p\vee q$	$00$	$M_0$
$p\vee ?q$	$01$	$M_1$
$?p\vee q$	$10$	$M_2$
$?p\vee ?q$	$11$	$M_3$

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( 4 ) 三個命題變項的極大項

三個命題變項 $p,q,r$ 的 極大項 :

• 1.先寫出 極大項 名稱 : 從 $0$ 開始計數 , $M_0,M_1,M_2,M_3,M_4,M_5,M_6,M_7$ ;
• 2.然后寫出成假賦值 : $0,1,2,3,4,5,6,7$ 對應的二進制形式 , 即 $000,001,010,011,100,101,110,111$ ;
• 3.最后寫公式 ( 簡單析取式 ) :
  • ① 公式形式 : 公式是簡單析取式 , $p\wedge q\wedge r$ , 其中 每個命題變項 $p,q,r$ 之前 都 可能 帶著 否定符號 $?$ ;
  • ② 滿足成假賦值 : 該公式需要滿足 其 上述 $000,001,010,011,100,101,110,111$ 賦值是成假賦值 , 即根據成真賦值 , 反推出其公式 ;
  • ③ 分析 : 成假賦值 為 $0,0,0$ , 三個命題變項都要為 假 , 賦值為 0 , 那么對應命題變項 是正常的命題變項 , 不帶否定符號 $?$ ;
  • ④ 對應 : 凡是 $1$ 賦值的 , 帶 $?$ 符號 ; 凡是 $0$ 賦值的 , 對應 正常 命題變項 ;

公式成假賦值名稱

$p\vee q\vee r$	$000$	$M_0$
$p\vee q\vee ?r$	$001$	$M_1$
$p\vee ?q\vee r$	$010$	$M_2$
$p\vee ?q\vee ?r$	$011$	$M_3$
$?p\vee q\vee r$	$100$	$M_4$
$?p\vee q\vee ?r$	$101$	$M_5$
$?p\vee ?q\vee r$	$110$	$M_6$
$?p\vee ?q\vee ?r$	$111$	$M_7$

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( 5 ) 極大項 成假賦值 公式 名稱 之間 的 轉化 與 推演

極大項 成假賦值 公式 名稱 之間 的 轉化 與 推演 :

• 1.成假賦值 到 公式 之間的推演 : 公式 的 成假賦值列出 , 就是成假賦值 ; 根據成假賦值 寫出 公式 , $1$ 對應的 命題變項 帶 否定 $?$ , $0$ 對應 正常的命題變項 ;
• 2.名稱 到 成假賦值 之間的 推演 : 這個 最簡單 , 直接將 下標 寫成 二進制形式 即可 ;
• 3.公式 到 名稱 之間的 推演 : 直接推演 比較困難 , 必須通過 成假賦值 過渡一下 , 先寫出 成假賦值 , 然后將其當做 二進制數 轉為 十進制的下標即可 ;

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二. 題目解析

1. 使用等值演算方式求 主析取范式 和 主合取范式

題目 : 使用等值演算方式求 主析取范式 和 主合取范式 ;

• 條件 : $A=(p\to ?q)\to r$
• 問題 1 : 求 主析取范式 和 主合取 范式 ;

解答 :

① 步驟 一 : 求出一個合取范式 :

$(p\to ?q)\to r$

( 使用蘊涵等值式 : $A\to B??A\vee B$ , 消除 外層的 蘊涵符號 )
$??(p\to ?q)\vee r$

( 使用蘊涵等值式 : $A\to B??A\vee B$ , 消除內層的 蘊涵符號 )
$??(?p\vee ?q)\vee r$

( 使用德摩根律 : $?(A\vee B)??A\wedge ?B$ , 處理 $?(?p\vee ?q)$ 部分 )
$?(p\wedge q)\vee r$

( 使用交換率 : $A\vee B?B\vee A$ )
$?r\vee (p\wedge q)$

( 使用分配率 : $A\vee (B\wedge C)?(A\vee B)\wedge (A\vee C)$ )
$?(r\vee p)\wedge (r\vee q)$

( 使用交換率 : $A\vee B?B\vee A$ )
$?(p\vee r)\wedge (q\vee r)$

當前狀況分析 :

• 1> 合取范式 : 此時 , $(p\vee r)\wedge (q\vee r)$ 是一個合取范式 , 根據該合取范式 求主合取 范式 ;
• 2> 拆分 : 分別將 $(p\vee r)$ 和 $(q\vee r)$ 轉為 極大項 ;

② 步驟二 : 將 $(p\vee r)$ 轉為 主合取范式 :

$(p\vee r)$

( 使用 零律 : $A\vee 0?A$ , 析取式 , 析取一個 $0$ 后 , 其值不變 )
$?(p\vee 0\vee r)$

( 使用 矛盾律 : $A\wedge A=0$ , 引入 命題變元 $q$ , 即使用 $A\wedge A$ 替換 式子中的 $0$ )
$?(p\vee (q\wedge ?q)\vee r)$

( 使用交換律 $A\vee B?B\vee A$ 和 結合律 $(A\vee B)\vee C?A\vee (B\vee C)$ )
$?((p\vee r)\vee (q\wedge ?q))$

( 使用分配律 : $A\vee (B\wedge C)?(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$ , 將 $p,q,r$ 都集合到一個析取式中 )
$?(p\vee r\vee q)\wedge (p\vee r\vee ?q)$

( 使用交換律 )
$?(p\vee q\vee r)\wedge (p\vee ?q\vee r)$

根據 極大項 公式 寫出對應序號 :

• 1> $(p\vee q\vee r)$ : 成假賦值 $000$ , 是極大項 $M_0$ ;
• 2> $(p\vee ?q\vee r)$ : 成假賦值 $010$ , 是極大項 $M_2$ ;
• 3> $(p\vee r)$ 對應的 主合取范式是 : $(p\vee q\vee r)\wedge (p\vee ?q\vee r)?M_0\wedge M_2$

③ 步驟三 : 將 $(q\vee r)$ 轉為 主合取范式 :

$(q\vee r)$

( 使用 零律 : $A\vee 0?A$ , 析取式 , 析取一個 $0$ 后 , 其值不變 )
$?(0\vee q\vee r)$

( 使用 矛盾律 : $A\wedge A=0$ , 引入 命題變元 $q$ , 即使用 $A\wedge A$ 替換 式子中的 $0$ )
$?((p\wedge ?p)\vee q\vee r)$

( 使用分配律 : $A\vee (B\wedge C)?(A\wedge B)\vee (A\wedge C)$ , 將 $p,q,r$ 都集合到一個析取式中 )
$?(p\vee r\vee q)\wedge (?p\vee r\vee q)$

根據 極大項 公式 寫出對應序號 :

• 1> $(p\vee q\vee r)$ : 成假賦值 $000$ , 是極大項 $M_0$ ;
• 2> $(?p\vee q\vee r)$ : 成假賦值 $100$ , 是極大項 $M_4$ ;
• 3> $(p\vee r)$ 對應的 主合取范式是 : $(p\vee q\vee r)\wedge (?p\vee q\vee r)?M_0\wedge M_4$

該題目最終結果 :

$(p\to ?q)$

( 步驟一 的結論 )
$?(p\vee r)\wedge (q\vee r)$

( 將步驟二 和 步驟三 結果代入到上式中 )
$?(M_0\wedge M_2)\wedge (M_0\wedge M_4)$

( 根據結合律 可以消去括號 將 $M_0\wedge M_0$ 組合起來 )
$?(M_0\wedge M_0)\wedge M_2\wedge M_4$

( 根據 冪等律 : $A\wedge A?A$ , 可以消去 一個 $M_0$ )
$?M_0\wedge M_2\wedge M_4$

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2. 使用 真值表法 求 主析取范式 和 主合取范式

題目 : 使用 真值表法 求 主析取范式 和 主合取范式 ;

• 條件 : $A=(p\to ?q)\to r$
• 問題 1 : 求 主析取范式 和 主合取 范式 ;

解答 :

① 首先列出其真值表 ( 列的真值表越詳細越好 , 算錯好幾次 )

$pqr$$(?q)$$(p\to ?q)$$A=(p\to ?q)\to r$極小項極大項

$000$	$1$	$1$	$0$	$m_0$	$M_0$
$001$	$1$	$1$	$1$	$m_1$	$M_1$
$010$	$0$	$1$	$0$	$m_2$	$M_2$
$011$	$0$	$1$	$1$	$m_3$	$M_3$
$100$	$1$	$1$	$0$	$m_4$	$M_4$
$101$	$1$	$1$	$1$	$m_5$	$M_5$
$110$	$0$	$0$	$1$	$m_6$	$M_6$
$111$	$0$	$0$	$1$	$m_7$	$M_7$

② 真值表中 取值為 真 的項 對應的 極小項 $m_i$ 構成 主析取范式 ;
$$m_1\vee m_3\vee m_5\vee m_6\vee m_7$$

③ 真值表中 取值為 假 的項 對應的 極大項 $m_i$ 構成 主合取范式 ;
$$M_0\wedge M_2\wedge M_4$$

極小項 - 合取式 - 成真賦值 - 對應條件真值表中的 $1$ - 主析取范式 ( 多個合取式的析取式 )

極大項 - 析取式 - 成假賦值 - 對應條件真值表中的 $0$ - 主合取范式 ( 多個析取式的合取式 )

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数理逻辑】范式 ( 合取范式 | 析取范式 | 大项 | 小项 | 极大项 | 极小项 | 主合取范式 | 主析取范式 | 等值演算方法求主析/合取范式 | 真值表法求主析/合取范式 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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