文章目錄

• 一、知識點回顧
• • 1、線性規劃三要素
  • 2、線性規劃一般形式
  • 3、線性規劃標準形式
• 二、線性規劃解、可行解、最優解
• 三、階梯型矩陣
• 四、階梯型矩陣向量
• 五、基、基向量、基變量、非基變量

一、知識點回顧

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1、線性規劃三要素

線性規劃三要素 :

• 決策變量 : $x_1,x_2,?$
• 目標條件 : 決策變量的線性函數 , 求最大值或最小值 ;
• 約束條件 : 一組由決策變量組成的等式或不等式 ;

2、線性規劃一般形式

$$\begin{array}{l}max(min)z={\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_j\\ \\ ?\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i& (i=1,2?m)\\ & \\ x_j\ge 0& (i=1,2?n)\end{array}\end{array}$$

3、線性規劃標準形式

標準形式特點及轉化步驟 : 按照如下順序進行處理 ;

• 約束條件都是等式 , 且右側常數 $\ge 0$ , 小于等于不等式加上松弛變量 , 大于等于不等式減去剩余變量 ;
• 決策變量 $\ge 0$ , 沒有約束的變量 $x_j=x_j^{\prime }?x_j^{\prime \prime }$ , 使用兩個變量代替 $1$ 個變量 ;
• 目標函數求最大值 , 如果是求最小值 , 目標函數 $\times ?1$ ;

線性規劃標準形式 :

$$\begin{array}{l}maxZ={\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_j\\ \\ s.t?\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\le (=?\ge )b_i& i=1,2,?,m\\ & \\ x_j\ge 0& j=1,2,?,n\end{array}\end{array}$$

二、線性規劃解、可行解、最優解

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線性規劃標準形式如下 :

$$\begin{array}{l}maxZ={\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_j\\ \\ s.t?\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i& i=1,2,?,m\\ & \\ x_j\ge 0& j=1,2,?,n\end{array}\end{array}$$

可行解 : 滿足約束條件的解 , 稱為可行解 ;

可行域 : 所有的可行解組成的集合 , 稱為可行域 ;

最優解 : 使目標函數達到最大值的可行解 , 稱為最優解 ;

線性規劃求解就是在 可行解 中找出一個 最優解 ;

將線性規劃轉化為標準形式 , 就可以使用求解方程組的方法 , 求解線性規劃的可行解 ;

三、階梯型矩陣

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拿到一個方程組 $AX=B$ , 其中

• $A$ 是 $m\times n$ 的矩陣
• $X$ 是 $n\times 1$ 維向量
• $B$ 是 $m\times 1$ 維向量

這是線性規劃的矩陣形式 , 參考 【運籌學】線性規劃數學模型 ( 三要素 | 一般形式 | 向量形式 | 矩陣形式 ) VI 線性規劃數學模型矩陣形式

解上述方程組 , 使用高斯方程 , 高斯消元法 ;

將系數矩陣 $A$ 和 $B$ 做成一個矩陣 $\left(AB\right)$ , 進行行變換 , 消元成階梯形式 , 此時可以判斷該方程組是否有解 , 如果有 , 可以將所有的解解出來 , 求解時 , 階梯元素很關鍵 ,

階梯型矩陣參考 : 矩陣中每行的第一個不為零的元素 , 其左側和下方全是 0 ;

高斯消元法示例 : 求解下面的方程組 ;

$$?\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=8\\ \\ x_2?x_3=2\end{array}$$

$\left(AB\right)$ 矩陣為 $?\begin{array}{cccccc}& 1& 1& 1& 8& \\ & & & & & \\ & 0& 1& ?1& 2& \end{array}?$

找到階梯型矩陣 : 前兩列就是階梯型矩陣 ;

前兩列的矩陣 $?\begin{array}{cccc}& 1& 1& \\ & & & \\ & 0& 1& \end{array}?$ 就是特殊矩陣 , 分別是 $x_1$ 和 $x_2$ 對應的矩陣 ;

$x_3$ 是特殊的變量 , 其可以任意取值的 , 當 $x_3$ 取任意值時 , 通過階梯型矩陣 , 可以計算出 $x_1$ 和 $x_2$ 的值 ;

假設 $x_3$ 取值為 $k$ , 那么 :

• $x_2=k+2$
• $x_1=6?2k$

四、階梯型矩陣向量

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$$?\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=8\\ \\ x_2?x_3=2\end{array}$$

方程組中有如下向量 :

• $x_1$ 對應的矩陣列向量 $?\begin{array}{ccc}& 1& \\ & & \\ & 0& \end{array}?$ 稱為 $P_1$ ,

• $x_2$ 對應的矩陣列向量 $?\begin{array}{ccc}& 1& \\ & & \\ & 1& \end{array}?$ 稱為 $P_2$ ,

• $x_3$ 對應的矩陣列向量 $?\begin{array}{ccc}& 1& \\ & & \\ & ?1& \end{array}?$ 稱為 $P_3$ ,

寫成向量形式 $\left(P_1{P}_2{P}_{3}b\right)$ , 在上方程組的矩陣中 , 找到階梯型矩陣后 , 階梯型矩陣對應的向量 $P_1$ 和 $P_2$ 是特殊的 ;

$\left(P_1{P}_2\right)$ 兩個列向量構成了 $2\times 2$ 二階方陣 , 該方陣是階梯型矩陣 , 是可逆的 ;

可逆矩陣參考

上述方程組可以寫成 $P_1{x}_1+P_2{x}_2+P_3{x}_3=b$ 形式 ;

有如下計算推導過程 :

$$AX=B$$

$$P_1{x}_1+P_2{x}_2+P_3{x}_3=b$$

$$\left(P_1{P}_2\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)+P_3{x}_3=b$$

將 $\left(P_1{P}_2\right)$ 當做一個矩陣 $B$ , 將 $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$ 當做一個矩陣 $X_B$ ;

將整個系數矩陣 除了 $B$ 之外剩下的矩陣稱為 $N$ , 對應的變量矩陣稱為 $X_N$ ;

$$B{X}_B+N{X}_N=b$$

在上述矩陣的表達式中 , 方程組 $?\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=8\\ \\ x_2?x_3=2\end{array}$ 中 一定有一個系數矩陣的子矩陣 $B$ 是特殊的矩陣 ;

$B$ 矩陣與 $A$ 矩陣的關系 :

• $A$ 矩陣是 $m\times n$ 維的矩陣 , $m$ 行 , $n$ 列 , 有 $n$ 個變量 , $m$ 個等式 ;

• $A$ 的秩為 $m$ , 且 $n\ge m$ ;

• 矩陣 $B$ 就是 $m\times m$ 的方陣 ;

線性規劃前提 :

• 這里說明一下 , 如果 $n\le m$ , 那么該方程組有唯一解 , 或無解 ;

• 整個運籌學討論的就是等式個數 $m$ 少于變量個數 $n$ , 有多個解的情況下 , 如何找出最優解 , 因此其矩陣的秩就是等式個數 $m$ ;

五、基、基向量、基變量、非基變量

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$A$ 矩陣是 $m\times n$ 維的矩陣 , $m$ 行 , $n$ 列 , 線性規劃中 , 有 $n$ 個變量 , $m$ 個等式 ;

矩陣 $A$ 的秩是 $m$ , 即等式個數 ;

矩陣 $A$ 中肯定能找到一個可逆的方陣 , 矩陣 $B$ ;

矩陣 $B$ 是矩陣 $A$ 中的滿秩子矩陣 , 則稱該 矩陣 $B$ 是線性規劃問題的一個 基 ;

$$P_1{x}_1+P_2{x}_2+P_3{x}_3=b$$

上述示例中的 $\left(P_1{P}_2\right)$ 就是線性規劃中的基 ;

$\left(P_1{P}_2\right)$ , $\left(P_1{P}_3\right)$ , $\left(P_2{P}_3\right)$ 都是線性規劃的基 ;

基向量 : 上述 基矩陣 中的 $P_1,P_2,P_3$ 列向量 , 稱為 基向量 ;

基變量 : 與基向量相乘的 $x_1,x_2,x_3$ 變量 , 稱為 基變量 ;

非基變量 : 基變量之外的其它變量 , 稱為非基變量 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】线性规划数学模型 ( 知识点回顾 | 可行解 | 最优解 | 阶梯型矩阵 | 阶梯型矩阵向量 | 基 | 基向量 | 基变量 | 非基变量 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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