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【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法原理 | 单纯形法流程 | 查找初始基可行解 )

發布時間：2025/6/17 39 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法原理 | 单纯形法流程 | 查找初始基可行解 ) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

一、單純形法原理
二、單純形法流程
三、初始的基可行解查找

一、單純形法原理

單純形法的理論基礎 :

定理 $1$ ( 可行域是凸集 ) : 如果線性規劃的問題存在可行解 , 其 可行域 必定是凸集 ;

定理 $2$ ( 基可行解是凸集頂點 ) : 線性規劃的 基可行解 $X_B$ 對應了上述可行域 ( 凸集 ) 的頂點位置 ;

定理 $3$ ( 某個基可行解是最優解 ) : 如果線性規劃問題存在最優解 , 那么一定存在一個基可行解是最優解 ;

參考上一篇博客【運籌學】線性規劃圖解法 ( 唯一最優解 | 無窮最優解 | 無界解 | 無可行解 ) 進行分析 :

給定線性規劃 :

$maxZ=2x1+x2s.t={x1+1.9x2≥3.8x1?1.9x2≤3.8x1+1.9x2≤10.2x1?1.9x2≥?3.8x1,x2≥0\begin{array}{lcl} max Z = 2x_1 + x_2\\\\ s.t = \begin{cases} x_1 + 1.9x_2 \geq 3.8\\\\ x_1 - 1.9x_2 \leq 3.8\\\\ x_1 + 1.9x_2 \leq 10.2\\\\ x_1 - 1.9x_2 \geq -3.8\\\\ x_1 , x_2 \geq 0 \end{cases} \end{array}$

使用圖解法進行分析 , 得到如下結果 ;

使用迭代的思想進行求解 :

無限個解中迭代 : 上圖中的可行域 $D$ 中的點是無限的 , 可以在所有的無限個可行域 $D$ 解中進行迭代 , 逐個迭代很難 ;
有限個解中迭代 : 因此選取可行域 ( 凸集 ) 的頂點 , 也就是基可行解進行迭代 , 該線性規劃問題的基可行解是有限的 , 只有 $4$ 個 , 即該凸集有 $4$ 個頂點 ;

上圖的凸集中的 $4$ 個頂點 , 必然有一個是最優解 , 因此迭代的時候 , 不用從 $D$ 可行域中的無限個點中進行迭代 , 只需要在有限個基可行解中進行迭代 , 即可找到最優解 ;

單純形法的原理的基礎就是源自上述理論 , 在線性規劃的有限個基可行解中 , 必定存在一個解釋最優解 , 逐個迭代 , 將這個最優解找出即可 ;

從無限個可行解中進行迭代 , 到有限個基可行解中進行迭代 , 簡單了很多 ;

但是對于 $\times n$ 階的線性規劃系數矩陣 , 其基可行解的個數可能有 $C_n^m$ 個 , 如果 $n$ 和 $m$ 很大的話 , 基可行解的數目還是很大 , 這是一個指數級的數 , 因此使用多項式算法 , 完成上述操作 , 計算量還是很大的 ;

這里使用單純形法 , 進行迭代 , 要比使用多項式法計算量更少 ;

二、單純形法流程

單純形法的基本流程 :

① 初始基可行解 : 首先找到初始的基可行解 ;

② 判定是否最優解 : 需要一個準則 , 判定該初始基可行解 , 是否是最優解 ; 這里是單純形法最核心問題 ;

③ 是最優解 : 如果該基可行解是最優解 , 那么結束迭代 ;

④ 不是最優解 : 如果該基可行解不是最優解 , 那么迭代到下一個基可行解 , 繼續判定是否是最優解 ; 如何迭代也需要一個準則 ;

這里涉及到了兩個準則 :

判斷最優解 : 判斷一個基可行解是否是最優解 ;
迭代原則 : 如何從一個基可行解迭代到下一個基可行解 ;

單純形法涉及到的問題 :

① 初始解 : 如何找到初始基可行解 ;

② 最優解 : 如何找到一個準則 , 用于判定基可行解是否是最優解 ;

③ 迭代解 : 如果一個基可行解不滿足準則 , 如何去選擇下一個基可行解進行迭代 ;

解決上述 $3$ 個問題 , 基可行解的算法 , 也就可以得出 ;

三、初始的基可行解查找

如何去找初始的基可行解 , 首先要找到一個基 , 并且該基是可行基 ;

對于 $\times n$ 階的系數矩陣 :

基 : 從 $C (n, m)$ 個子矩陣中找到基矩陣 , 基矩陣的條件是該 $m$ 階方陣是可逆的 ;

參考【運籌學】線性規劃數學模型 ( 求解基矩陣示例 | 矩陣的可逆性 | 線性規劃表示為基矩陣基向量非基矩陣非基向量形式 ) 一、求解基矩陣示例博客章節 , $[51?110?106201]\begin{bmatrix} &5 & 1 & -1 & 1 & 0 & \\\\ & -10 & 6 & 2 & 0 & 1 & \end{bmatrix}$ 系數矩陣 , 有 $C (5, 2) = 10$ 個子矩陣 , 但是只有 $9$ 個是可逆的 ;

基矩陣如下 :

$B1=[51?106]B_1 = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 6 & \end{bmatrix}$ , $B2=[1?162]B_2 = \begin{bmatrix} &1 & -1 & \\\\ & 6 & 2 & \end{bmatrix}$ , $B3=[50?101]B_3 = \begin{bmatrix} &5 & 0 & \\\\ & -10 & 1 & \end{bmatrix}$ ,

$B4=[1160]B_4 = \begin{bmatrix} &1 & 1 & \\\\ & 6 & 0 & \end{bmatrix}$ , $B5=[51?100]B_5 = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 0 & \end{bmatrix}$ , $B6=[?1021]B_6 = \begin{bmatrix} &-1 & 0 & \\\\ & 2 & 1 & \end{bmatrix}$ ,

$B7=[?1120]B_7 = \begin{bmatrix} &-1 & 1 & \\\\ & 2 & 0 & \end{bmatrix}$ , $B8=[11061]B_8 = \begin{bmatrix} &1 & 10 & \\\\ & 6 & 1 & \end{bmatrix}$ , $B9=[1001]B_9 = \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}$ ;

選擇一個基矩陣 , 每個基矩陣都唯一對應一個基解 , 如果該解大于等于 $0$ , 說明該解是基可行解 , 那么該選擇的基矩陣 , 就是可行基 ;

參考【運籌學】線性規劃數學模型 ( 線性規劃求解 | 根據非基變量的解得到基變量解 | 基解 | 基可行解 | 可行基 ) 三、基解博客章節 , 基解的公式是

$X_B = B^{-1}b$

使用 $B1=[51?106]B_1 = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 6 & \end{bmatrix}$ 矩陣作為基矩陣 , 求出其對應的基可行解 , 代入上述公式 :

$XB=B?1bXB=[51?106]?1×[32]\begin{array}{lcl} X_B = B^{-1}b\\\\ X_B = \begin{bmatrix} &5 & 1 & \\\\ & -10 & 6 & \end{bmatrix}^{-1} \times \begin{bmatrix} &3 & \\\\ & 2 & \end{bmatrix} \end{array}$

如果上述 $X_B$ 的兩個分量 $(x1x2)\begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \end{pmatrix}$ 都大于 0 , 說明該解釋基可行解 , 該基矩陣 $B_1$ 是可行基 ;

使用算法進行迭代 , 一個個判斷太浪費時間 , 選擇 $B_1$ 作為基矩陣 , 計算很復雜 , 這里選擇 $B9=[1001]B_9 = \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}$ 作為基矩陣 , 這是個單位陣 , 其逆矩陣還是其單位陣本身 ;

$B_9$ 基矩陣對應的基變量是 $XB=(x4x5)X_B = \begin{pmatrix} x_4\\ x_5 \\ \end{pmatrix}$ , 將基矩陣代入 $X_B = B^{-1}b$ 公式 ;

$XB=B?1bXB=[1001]?1×[32]XB=[1001]×[32]XB=[32]\begin{array}{lcl} X_B = B^{-1}b\\\\ X_B = \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}^{-1} \times \begin{bmatrix} &3 & \\\\ & 2 & \end{bmatrix}\\\\ X_B = \begin{bmatrix} &1 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} &3 & \\\\ & 2 & \end{bmatrix}\\\\ X_B = \begin{bmatrix} &3 & \\\\ & 2 & \end{bmatrix} \end{array}$

由上述計算過程得到 $XB=(x4x5)=(32)X_B = \begin{pmatrix} x_4\\ x_5 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 2 \\ \end{pmatrix}$ 結果 , $x_4$ 和 $x_5$ 都大于 $0$ , $(00032)\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 3\\ 2 \\ \end{pmatrix}$ 是基可行解 , 該 $X_B$ 是可行基 ;

使用 $B_1$ 作為基矩陣 , 不好計算 , 還需要求 $B_1$ 矩陣的逆矩陣 , $B_9$ 是單位陣 , 所有的單位陣 $I$ 都是可行基 , 初始基可行解選取時 , 優先選擇單位陣 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法原理 | 单纯形法流程 | 查找初始基可行解 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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