文章目錄

• 一、基矩陣 + 非基矩陣 約束條件
• 二、基矩陣 + 非基矩陣 線性規(guī)劃
• 三、線性規(guī)劃 可行解
• 四、目標(biāo)函數(shù) 推導(dǎo)
• 五、$X_N=O$ 目標(biāo)函數(shù)最大 分析
• 六、總結(jié)

在上一篇博客 【運(yùn)籌學(xué)】線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型 ( 單純形法原理 | 單純形法流程 | 查找初始基可行解 ) 中 , 講解到了使用單純形法求解線性規(guī)劃問(wèn)題 , 需要解決以下三個(gè)主要問(wèn)題 :

• 查找初始基可行解
• 判定是否是最優(yōu)解
• 如何迭代

該博客中已經(jīng)講解了如何查找初始基可行解 , 查找初始基可行解時(shí) , 優(yōu)先選擇單位陣作為基矩陣 , 單位陣 $I$ 對(duì)應(yīng)的基解 , 必定是基可行解 ;
( 如果沒(méi)有單位陣 $I$ , 那么后續(xù)在討論 )

本博客開(kāi)始講解 , 如何 判定最優(yōu)解 ( 最優(yōu)解是如何確定出來(lái)的 ) , 和 如何迭代到下一個(gè)基可行解 ;

一、基矩陣 + 非基矩陣 約束條件

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目標(biāo)函數(shù) , 用于判定 $1$ 個(gè)基可行解是否是最優(yōu)解 ;

在 【運(yùn)籌學(xué)】線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型 ( 求解基矩陣示例 | 矩陣的可逆性 | 線性規(guī)劃表示為 基矩陣 基向量 非基矩陣 非基向量 形式 ) 博客中 , 根據(jù)推導(dǎo) , 線性規(guī)劃的約束條件 , 可以表示為 :

$$B{X}_B+N{X}_N=b$$

二、基矩陣 + 非基矩陣 線性規(guī)劃

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將上述約束條件代入線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式中

$$\begin{array}{l}maxZ={\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_j\\ \\ ?\begin{array}{ll}{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i& (i=1,2?m)\\ & \\ x_j\ge 0& (i=1,2?n)\end{array}\end{array}$$

得到如下形式 :

$$\begin{array}{l}maxZ=C_B^T{X}_B+C_N^T{X}_N\\ \\ ?\begin{array}{ll}B{X}_B+N{X}_N=b& \\ & \\ x_j\ge 0& (i=1,2?n)\end{array}\end{array}$$

假設(shè)得到基解 $?\begin{array}{l}{X}_B=B^{?1}b\\ \\ X_N=O\end{array}$ , 其中 $O$ 表示零矩陣 , 矩陣張紅每個(gè)元素的值都是 $0$ ;

判斷該基解 $\left(\begin{array}{c}{X}_B\\ X_N\end{array}\right)$ 是否是最優(yōu)解 , 需要從目標(biāo)函數(shù) $maxZ=C_B^T{X}_B+C_N^T{X}_N$ 開(kāi)始分析 ;

三、線性規(guī)劃 可行解

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從現(xiàn)在開(kāi)始不再討論基解了 , 回到之前 , 討論可行解 , $X_N$ 可以取值任意合法值 , 而不是取 $O$ 矩陣值 , 查看取值其它值的時(shí)候 , 目標(biāo)函數(shù)是否有最大值 , 這里 重新進(jìn)行解的推導(dǎo) :

在 【運(yùn)籌學(xué)】線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型 ( 線性規(guī)劃求解 | 根據(jù)非基變量的解得到基變量解 | 基解 | 基可行解 | 可行基 ) 二、根據(jù)非基變量的解得到可行解 博客章節(jié) , 在 $B{X}_B+N{X}_N=b$ 兩端都乘以 $B^{?1}$ , 然后移項(xiàng)得到了 :

$$X_B=B^{?1}b?B^{?1}N{X}_N$$

將上述可行解 , 列舉出來(lái) :

$?\begin{array}{l}{X}_B=B^{?1}b?B^{?1}N{X}_N\\ \\ X_N\end{array}$

四、目標(biāo)函數(shù) 推導(dǎo)

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此時(shí)進(jìn)行判定線性規(guī)劃可行解 $?\begin{array}{l}{X}_B=B^{?1}b?B^{?1}N{X}_N\\ \\ X_N\end{array}$ 中 , $X_N$ 取值 $O$ 矩陣 , 是否是最好的情況 , 即目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值 , 目標(biāo)函數(shù)如下 :

$$maxZ=C_B^T{X}_B+C_N^T{X}_N$$

將 $X_B=B^{?1}b?B^{?1}N{X}_N$ 代入上述目標(biāo)函數(shù) :

$$\begin{array}{lcl}maxZ& =& C_B^T(B^{?1}b?B^{?1}N{X}_N)+C_N^T{X}_N\\ & & \\ & =& C_B^T{B}^{?1}b?C_B^T{B}^{?1}N{X}_N+C_N^T{X}_N\end{array}$$

$C_B^T{B}^{?1}b$ 計(jì)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)值常量 , 可以寫(xiě)成 $b_0$ , 與 $X$ ( $n$ 個(gè)決策變量 ) 無(wú)關(guān) ;

$$\begin{array}{lcl}& =& b_0+(C_N^T?C_B^T{B}^{?1}N)X_N\\ & & \end{array}$$

之前的基解的策略是 , 將 $X_N$ 取值為 $O$ 零矩陣 , 現(xiàn)在討論 , 要使上述目標(biāo)函數(shù) $maxZ$ 最大 , 分析 $X_N=O$ 是否是最好的選擇 , 即分析 $X_N=O$ 是否是使 $maxZ$ 目標(biāo)函數(shù)最大的值 ;

假設(shè) $X_N$ 矩陣中的變量值為 $?\begin{array}{c}{x}_{m+1}\\ x_{m+2}\\ ?\\ x_n\end{array}?$ , $(C_N^T?C_B^T{B}^{?1}N)$ 的計(jì)算結(jié)果是 $\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{m+1},{\sigma }_{m+2},?,{\sigma }_n\end{array}\right)$ , $(C_N^T?C_B^T{B}^{?1}N)X_N$ 結(jié)果是 ${\sigma }_{m+1}{x}_{m+1}+{\sigma }_{m+2}{x}_{m+2}+?+{\sigma }_n{x}_n$

$$\begin{array}{lcl}& =& b_0+(C_N^T?C_B^T{B}^{?1}N)X_N\\ & & \\ & =& b_0+{\sigma }_{m+1}{x}_{m+1}+{\sigma }_{m+2}{x}_{m+2}+?+{\sigma }_n{x}_n\\ & & \end{array}$$

五、$X_N=O$ 目標(biāo)函數(shù)最大 分析

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當(dāng)上述 $X_N$ 矩陣中的變量值 $?\begin{array}{c}{x}_{m+1}\\ x_{m+2}\\ ?\\ x_n\end{array}?$ 都為 $0$ 時(shí) , 假如上述公式取值最大值 , 即

$$b_0+{\sigma }_{m+1}{x}_{m+1}+{\sigma }_{m+2}{x}_{m+2}+?+{\sigma }_n{x}_n$$

取值最大值 ;

在線性規(guī)劃約束條件中 , 所有的變量都是大于等于 $0$ 的 , 每個(gè) $x_j$ 約束變量取值都可以大于等于 $0$ , 目前是查看當(dāng)所有的 $x_j$ 變量都取值 $0$ 時(shí) , 目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值的情況 ;

當(dāng) $X_N$ 取值等于 $O$ 零矩陣時(shí) , 目標(biāo)函數(shù)值等于 $b_0$ , 當(dāng) $X_N$ 中有元素取值大于 $0$ 時(shí) , 就會(huì)在 $b_0$ 基礎(chǔ)上加上一個(gè)值 , 如果這個(gè)值是 小于等于 $0$ 的 , 那么對(duì)應(yīng)的 $x_j$ 取值越大 , 目標(biāo)函數(shù)值越小 ;

因此這里得到 , 在 $X_N=?\begin{array}{c}{x}_{m+1}\\ x_{m+2}\\ ?\\ x_n\end{array}?$ 非基變量前的系數(shù)是小于等于 $0$ 時(shí) , 才能滿足當(dāng) $X_N$ 中的元素取值等于 $0$ 時(shí) , 目標(biāo)函數(shù)是最大值 ;

因此
$$b_0+{\sigma }_{m+1}{x}_{m+1}+{\sigma }_{m+2}{x}_{m+2}+?+{\sigma }_n{x}_n$$

中的 ${\sigma }_{m+1},{\sigma }_{m+2},?,{\sigma }_n$ 系數(shù)值小于等于 $0$ , 其中每個(gè)系數(shù)對(duì)應(yīng)的變量 $x_j$ 必定是大于等于 $0$ 的值 , 那么系數(shù) ${\sigma }_{m+1}$ 小于等于 $0$ 時(shí) , 每個(gè)變量取值 $x_j=0$ , 目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值 ;

六、總結(jié)

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將線性規(guī)劃約束條件表示為 $B{X}_B+N{X}_N=b$

進(jìn)行變換后得到 $X_B=B^{?1}b?B^{?1}N{X}_N$

這里可以寫(xiě)出如下可行解 $?\begin{array}{l}{X}_B=B^{?1}b?B^{?1}N{X}_N\\ \\ X_N\end{array}$

將上述可行解代入目標(biāo)函數(shù) $maxZ=C_B^T{X}_B+C_N^T{X}_N$ 中

得到 $maxZ=b_0+(C_N^T?C_B^T{B}^{?1}N)X_N$

在該情況下 , 如果 $(C_N^T?C_B^T{B}^{?1}N)$ 系數(shù)小于等于 $0$ , 當(dāng) $X_N$ 取值為 $0$ 時(shí) , 目標(biāo)函數(shù)得到最大值 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】线性规划数学模型 ( 单纯形法 | 最优解判定原则 | 可行解表示 | 目标函数推导 | 目标函数最大值分析 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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