文章目錄

• 一、 卡氏積
• 二、 卡氏積示例
• 三、 卡氏積性質(zhì)
• 四、 n 維卡氏積
• 五、 n 維卡氏積個(gè)數(shù)
• 六、 n 維卡氏積性質(zhì)

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一、 卡氏積

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卡氏積 : $A,B$ 是兩個(gè)集合 , 由 $A$ 集合中的元素作為第一個(gè)元素 , 由 $B$ 集合中的元素作為第二個(gè)元素 , 符合上述條件的有序?qū)M成的集合 , 稱為集合 $A$ 與 $B$ 的卡氏積 ;

記作 : $A\times B$

符號(hào)化表示 : $A\times B=\{<x,y>|x\in A\wedge y\in B\}$

集合 $A$ 與 集合 $B$ 的 卡氏積 是一個(gè) 新的集合 , 這個(gè)新集合是一個(gè) 有序?qū)?;

二、 卡氏積示例

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集合 $A=\{?,a\}$ , 集合 $B=\{1,2,3\}$

$A\times B=\{<?,1>,<?,2>,<?,3>,<a,1>,<a,2>,<a,3>\}$

每個(gè)有序?qū)?第一個(gè)元素來自 $A$ 集合 , 第二個(gè)元素來自 $B$ 集合 ;

$B\times A=\{<1,?>,<2,?>,<3,?>,<1,a>,<2,a>,<3,a>\}$

每個(gè)有序?qū)Φ谝粋€(gè)元素來自 $B$ 集合 , 第二個(gè)元素來自 $A$ 集合 ;

$A\times A=\{<?,?>,<?,a>,<a,?>,<a,a>\}$

每個(gè)有序?qū)Φ谝粋€(gè)元素來自 $A$ 集合 , 第二個(gè)元素來自 $A$ 集合 ;

$B\times B=\{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>\}$

每個(gè)有序?qū)Φ谝粋€(gè)元素來自 $B$ 集合 , 第二個(gè)元素來自 $B$ 集合 ;

三、 卡氏積性質(zhì)

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1. 非交換性

$A\times B=B\times A$

有三種特殊情況 , 交換性成立

① $A=B$

② $A=?$

③ $B=?$

2. 非結(jié)合性

$(A\times B)\times C=A\times (B\times C)$

有三種特殊情況 , 結(jié)合性成立

① $A=?$

② $B=?$

③ $C=?$

3. 分配率

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$

4. 有序?qū)榭盏那闆r

$A\times B=??A=?\vee B=?$

四、 n 維卡氏積

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n 維卡氏積 :

$A_1\times A_2\times ?\times A_n=\{<x_1,x_2,?,x_n>|x_1\in A_1\wedge x_2\in A_2\wedge ?\wedge x_n\in A_n\}$

$n$ 個(gè)集合的卡氏積 , $n$ 維卡氏積結(jié)果 , 每個(gè)有序?qū)τ?$n$ 個(gè)元素 , 每個(gè)元素都分別 按照指定順序 來自這 $n$ 個(gè)集合 ;

$A^n=\begin{array}{c}A\times A\times ?\times A\\ n個(gè)\end{array}$

這是 $n$ 個(gè) 集合 $A$ 的 $n$ 維卡氏積 ;

五、 n 維卡氏積個(gè)數(shù)

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$n$ 維卡氏積個(gè)數(shù) :

$|A_i|=n_i,i=1,2,?,n$

$?$

$|A_1\times A_2\times ?\times A_n|=n_1\times n_2\times ?\times n_n$

$|A_i|=n_i$ , $i=1,2,?,n$ : 表示 第 $i$ 個(gè)集合 $A_i$ 的元素個(gè)數(shù)是 $n_i$ ;

$|A_1\times A_2\times ?\times A_n|$ : 表示 $n$ 個(gè)集合的卡氏積結(jié)果集合個(gè)數(shù) ;

$n_1\times n_2\times ?\times n_n$ : $n$ 個(gè)集合的卡氏積結(jié)果 ;

六、 n 維卡氏積性質(zhì)

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n 維卡氏積性質(zhì) : 與 $2$ 維卡氏積性質(zhì)類似

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【集合论】卡氏积 ( 卡氏积概念 | 卡氏积示例 | 卡氏积性质 | 非交换性 | 非结合性 | 分配律 | 有序对为空 | n 维卡氏积 | n 维卡氏积个数 | n维卡氏积性质 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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