文章目錄

• 一、關(guān)系閉包相關(guān)定理 ( 閉包運(yùn)算不動點(diǎn) )
• 二、關(guān)系閉包相關(guān)定理 ( 閉包運(yùn)算單調(diào)性 )
• 三、關(guān)系閉包相關(guān)定理 ( 閉包運(yùn)算與并運(yùn)算之間的關(guān)系 )
• 四、傳遞閉包并集反例

一、關(guān)系閉包相關(guān)定理 ( 閉包運(yùn)算不動點(diǎn) )

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$R$ 關(guān)系是 $A$ 集合上的二元關(guān)系 , $R?A$ , 且 $A$ 集合不為空集 , $A=?$

$R$ 關(guān)系是自反的 , 當(dāng)且僅當(dāng) $R$ 關(guān)系的自反閉包 $r(R)$ 也是 $R$ 關(guān)系本身 ;

$$R自反?r(R)=R$$

$R$ 關(guān)系是對稱的 , 當(dāng)且僅當(dāng) $R$ 關(guān)系的對稱閉包 $s(R)$ 也是 $R$ 關(guān)系本身 ;

$$R對稱?s(R)=R$$

$R$ 關(guān)系是傳遞的 , 當(dāng)且僅當(dāng) $R$ 關(guān)系的傳遞閉包 $t(R)$ 也是 $R$ 關(guān)系本身 ;

$$R傳遞?t(R)=R$$

二、關(guān)系閉包相關(guān)定理 ( 閉包運(yùn)算單調(diào)性 )

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$R_1,R_2$ 關(guān)系是 $A$ 集合上的二元關(guān)系 , $R_2$ 關(guān)系包含 $R_1$ 關(guān)系 , $R_1?R_2?A\times A$ , 且 $A$ 集合不為空集 , $A=?$

$R_1$ 關(guān)系的自反閉包 包含于 $R_2$ 關(guān)系的自反閉包

$$r(R_1)?r(R_2)$$

$R_1$ 關(guān)系的對稱閉包 包含于 $R_2$ 關(guān)系的對稱閉包

$$s(R_1)?s(R_2)$$

$R_1$ 關(guān)系的傳遞閉包 包含于 $R_2$ 關(guān)系的傳遞閉包

$$t(R_1)?t(R_2)$$

三、關(guān)系閉包相關(guān)定理 ( 閉包運(yùn)算與并運(yùn)算之間的關(guān)系 )

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$R_1,R_2$ 關(guān)系是 $A$ 集合上的二元關(guān)系 , $R_2$ 關(guān)系包含 $R_1$ 關(guān)系 , $R_1?R_2?A\times A$ , 且 $A$ 集合不為空集 , $A=?$

自反閉包并集 : $R_1$ 關(guān)系 與 $R_2$ 關(guān)系 并集 的 自反閉包 , 等于 $R_1$ 關(guān)系的自反閉包 與 $R_2$ 關(guān)系的自反閉包 的并集 ;

$$r(R_1\cup R_2)=r(R_1)\cup r(R_2)$$

對稱閉包并集 : $R_1$ 關(guān)系 與 $R_2$ 關(guān)系 并集 的 對稱閉包 , 等于 $R_1$ 關(guān)系的對稱閉包 與 $R_2$ 關(guān)系的對稱閉包 的并集 ;

$$s(R_1\cup R_2)=s(R_1)\cup s(R_2)$$

傳遞閉包并集 : $R_1$ 關(guān)系 與 $R_2$ 關(guān)系 并集 的 傳遞閉包 , 包含 $R_1$ 關(guān)系的傳遞閉包 與 $R_2$ 關(guān)系的傳遞閉包 的并集 ;

$$t(R_1\cup R_2)?t(R_1)\cup t(R_2)$$

四、傳遞閉包并集反例

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傳遞閉包 的反例 :

集合 $A=\{a,b\}$

關(guān)系 $R_1=\{<a,b>\}$ , 關(guān)系 $R_2=\{<b,a>\}$

$R_1$ 關(guān)系的傳遞閉包 : $t(R_1)=\{<a,b>\}$

$R_2$ 關(guān)系的傳遞閉包 : $t(R_2)=\{<b,a>\}$

并集的閉包 : $t(R_1\cup R_2)=\{<a,b>,<a,a>,<b,a>,<b,b>\}$

閉包的并集 : $t(R_1)\cup t(R_2)=\{<a,b>,<b,a>\}$ , 該關(guān)系是非傳遞的 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【集合论】关系闭包 ( 关系闭包相关定理 )的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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