文章目錄

• 一、常見的關系的性質
• 二、關系的性質示例
• 三、關系運算性質

一、常見的關系的性質

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在 自然數集 $N=\{0,1,2,?\}$ 上 , 如下關系的性質 :

1. 小于等于關系 ：

小于等于關系 :

符號化描述 : $\le =\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x\le y\}$

關系性質 : 自反 , 反對稱 , 傳遞

2. 大于等于關系 ：

大于等于關系 :

符號化描述 : $\ge =\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x\ge y\}$

關系性質 : 自反 , 反對稱 , 傳遞

3. 小于關系 ：

小于關系 :

符號化描述 : $<=\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x<y\}$

關系性質 : 反自反 , 反對稱 , 傳遞

4. 大于關系 ：

大于關系 :

符號化描述 : $>=\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x>y\}$

關系性質 : 反自反 , 反對稱 , 傳遞

5. 整除關系 :

整除關系 :

符號化描述 : $|=\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x|y\}$

關系性質 : 反對稱 , 傳遞

$x|y$ 中的 $|$ 符號是整除的意思 , $x$ 整除 $y$ ;

• $x$ 整除 $y$ , $x$ 是除數 (分子) , $y$ 是被除數 (分母) ; $\frac{y}{x}$

• $y$ 能被 $x$ 整除 , $x$ 是除數 (分子) , $y$ 是被除數 (分母) ; $\frac{y}{x}$

• 整除關系中 , 一定要注意 , 只能非 $0$ 整除 $0$ , $0$ 不能整除非 $0$ , 即 $0$ 只能作被除數 , 不能作除數 ;

參考 : 【集合論】二元關系 ( 特殊關系類型 | 空關系 | 恒等關系 | 全域關系 | 整除關系 | 大小關系 ) 三、 整除關系

6. 恒等關系 :

恒等關系 :

符號化描述 : $I_N=\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\wedge x=y\}$

關系性質 : 自反 , 對稱 , 反對稱 , 傳遞

7. 全域關系 :

全域關系 :

符號化描述 : $E_N=\{<x,y>|x\in N\wedge y\in N\}=N\times N$

關系性質 : 自反 , 對稱 , 傳遞

自反 , 反對稱的關系 , 稱為偏序關系 ;

二、關系的性質示例

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關系圖關系判定 :

• ① 自反 : 關系圖中所有頂點 都有環 ;
• ② 反自反 : 關系圖中所有頂點 都沒有環 ;
• ③ 對稱 : 兩個頂點之間 有 $0$ 個或 $2$ 個有向邊 ;
• ④ 反對稱 : 兩個頂點之間 有 $0$ 個或 $1$ 個有向邊 ;
• ⑤ 傳遞 : 前提 $a\to b,b\to c$ 不成立 默認傳遞 , 前提 $a\to b,b\to c$ 成立 必須滿足 $a\to c$ 存在 ;

1. $R_1=\{<a,a>,<a,b>,<b,c>,<a,c>\}$ :

繪制上述關系的關系圖 : 反對稱 , 傳遞

自反/反自反 : 有的頂點有環 , 有的頂點沒有環 , 自反和反自反都不成立 ;

對稱/反對稱 : 頂點之間都是 $1$ 條有向邊 , 頂點之間只有 $0/1$ 條邊 , 是 反對稱 的 ;

傳遞 : $a\to b,b\to c$ 成立 , $a\to c$ 存在 , 傳遞性 成立 ;

2. $R_2=\{<a,a>,<a,b>,<b,c>,<c,a>\}$ :

繪制上述關系的關系圖 : 反對稱

自反/反自反 : 有的頂點有環 , 有的頂點沒有環 , 自反和反自反都不成立 ;

對稱/反對稱 : 頂點之間都是 $1$ 條有向邊 , 頂點之間只有 $0/1$ 條邊 , 是 反對稱 的 ;

傳遞 : $a\to b,b\to c$ 成立 , $a\to c$ 不存在 , 傳遞性 不成立 ;

3. $R_3=\{<a,a>,<b,b>,<a,b>,<b,a>,<c,c>\}$ :

繪制上述關系的關系圖 : 自反 , 對稱 , 傳遞

自反/反自反 : 所有頂點都有環 , 自反性 成立 ;

對稱/反對稱 : 頂點之間都是 $0$ 或 $2$ 條有向邊 , 頂點之間只有 $0/2$ 條邊 , 是 對稱 的 ;

傳遞 : 傳遞性 成立 ;

• 前提 $a\to b,b\to a$ , 對應存在 $a\to a$
• 前提 $b\to a,a\to b$ , 對應存在 $b\to b$

4. $R_4=\{<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,c>\}$ :

繪制上述關系的關系圖 : 對稱

自反/反自反 : 有的頂點有環 , 有的頂點沒有環 , 自反和反自反都不成立 ;

對稱/反對稱 : 頂點之間都是 $0$ 或 $2$ 條有向邊 , 頂點之間只有 $0/2$ 條邊 , 是 對稱 的 ;

傳遞 : 傳遞性 不成立 ;

• 前提 $a\to b,b\to a$ , 對應存在 $a\to a$
• 前提 $b\to a,a\to b$ , 不存在對應的 $b\to b$ , 這里傳遞性不成立 ;

5. $R_5=\{<a,a>,<a,b>,<b,b>,<c,c>\}$ :

繪制上述關系的關系圖 : 自反 , 反對稱 , 傳遞

自反/反自反 : 所有頂點都有環 , 自反性 成立 ;

對稱/反對稱 : 頂點之間都是 $0$ 或 $1$ 條有向邊 , 頂點之間只有 $0/1$ 條邊 , 是 反對稱 的 ;

傳遞 : 前提不成立 , 傳遞性 成立 ;

6. $R_6=\{<a,a>,<b,a>,<b,c>,<a,a>\}$ :

繪制上述關系的關系圖 : 沒有任何關系

自反/反自反 : 有的頂點有環 , 有的頂點沒有環 , 自反和反自反都不成立 ;

對稱/反對稱 : 頂點之間都是 $1$ 或 $2$ 條有向邊 , 頂點之間只有 $0/1$ 條邊是反對稱 , 頂點之間只有 $0/2$ 條邊是對稱 , 上述對稱/反對稱都不成立 ;

傳遞 : 前提 $a\to b,b\to c$ , 不存在對應的 $a\to c$ , 這里傳遞性不成立 ;

三、關系運算性質

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討論問題 : 指定性質的關系 之間進行運算 , 其結果的性質 ; 如 自反的兩個關系 進行逆序合成運算 , 結果扔是自反的 ;

下圖中表格的含義是 : 如 第二列 “自反” 與 第三列 “$R_1\cup R_2$” , 交叉的表格位置 , 代表 關系 $R_1$ 與關系 $R_2$ 是自反的 , 其有序對交集是否是自反的 , 如果是 $1$ , 說明是自反的 , 如果沒有值 , 說明不是自反的 ;

自反反自反對稱反對稱傳遞

$R_1^{?1},R_2^{?1}$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$R_1\cup R_2^{?1}$	$1$	$1$	$1$
$R_1\cap R_2$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$R_1°R_2,R_2°R_1$	$1$
$R_1?R_2,R_2?R_1$		$1$	$1$	$1$
$～R_1,～R_2$			$1$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【集合论】关系性质 ( 常见的关系的性质 | 关系性质示例 | 关系运算性质 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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