文章目錄

• 一、組合數(shù)學(xué)脈絡(luò)
• 二、組合數(shù)學(xué)思想 1 : 一一對(duì)應(yīng)技巧
• 三、組合計(jì)數(shù)模型 與 一一對(duì)應(yīng)

一、組合數(shù)學(xué)脈絡(luò)

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組合存在性問(wèn)題 : 鴿巢原理 , Remsey 定理 ;

組合計(jì)數(shù)問(wèn)題 :

計(jì)數(shù)定理 : 容斥原理 , Polya 定理 ;

計(jì)數(shù)方法 : 遞推方程 , 生成函數(shù) , 指數(shù)生成函數(shù) ;

計(jì)數(shù)模型 : 選取方案 , 不定方程解 , 非降路徑問(wèn)題 , 拆分方案 , 放球方案 ;

組合枚舉問(wèn)題 : 生成算法 , 組合設(shè)計(jì) ;

組合優(yōu)化問(wèn)題 : 最短路徑問(wèn)題 , 最小生成樹(shù) , 網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化 ;

三個(gè)重要的組合思想 :

• 一一對(duì)應(yīng)
• 數(shù)學(xué)歸納法
• 上下界逼近處理方法

二、組合數(shù)學(xué)思想 1 : 一一對(duì)應(yīng)技巧

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一一對(duì)應(yīng)技巧 : 將某種計(jì)數(shù) 轉(zhuǎn)為 另外一種計(jì)數(shù) , 另外一種計(jì)數(shù)有一個(gè)非常顯然的結(jié)果 , 兩種計(jì)數(shù)的個(gè)數(shù)是一樣多的 ;

示例 $1$ :

$3\times 3\times 3$ 的立方體 , 需要切割多少次 , 才能切成 $27$ 個(gè)小的立方體 ;

最中心的小立方體 , $6$ 個(gè)面都是切出來(lái)的 , 必須切 $6$ 刀 , 才能得到 $6$ 個(gè)面 ;

最中心的小立方體的面數(shù) , 與 切割的刀數(shù) 是 一一對(duì)應(yīng) 的 ;

示例 $2$ :

$n$ 個(gè)運(yùn)動(dòng)員比賽 , 淘汰賽制 , 需要多少次比賽 ;

$n?1$ 次 , 比賽次數(shù) 與 淘汰人數(shù) 一一對(duì)應(yīng) ;

三、組合計(jì)數(shù)模型 與 一一對(duì)應(yīng)

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計(jì)數(shù)方法 : 計(jì)數(shù)模型 與 實(shí)際問(wèn)題 進(jìn)行對(duì)應(yīng) ;

計(jì)數(shù)模型 :

• 選取問(wèn)題
• 不定方程非負(fù)整數(shù)解問(wèn)題
• 非降路徑問(wèn)題
• 整數(shù)拆分問(wèn)題
• 放球問(wèn)題

上述模型都是非常典型的組合計(jì)數(shù)模型 , 很多實(shí)際問(wèn)題都可以與上述某個(gè)模型建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 , 這樣就可以使用上述模型的公式和方法 , 來(lái)解實(shí)際的問(wèn)題 ;

參考之前學(xué)習(xí)的 Stirling 子集數(shù) , 【集合論】Stirling 子集數(shù) ( 斯特林子集數(shù)概念 | 放球模型 | Stirling 子集數(shù)遞推公式 | 劃分的二元關(guān)系 加細(xì)關(guān)系 ) 二、放球模型 ,

集合的 劃分問(wèn)題 , Stirling 子集數(shù)問(wèn)題 ,
與 放球模型 中的 球有編號(hào) , 盒子沒(méi)有編號(hào) ( 不同的球放在相同盒子里 ) 模型的方案?jìng)€(gè)數(shù)
一一對(duì)應(yīng) ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】组合数学简介 ( 组合数学脉络 | 组合数学技巧 | 组合思想 1 : 一一对应 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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