文章目錄

• 一、組合數(shù)學脈絡
• 二、組合數(shù)學思想 1 : 一一對應技巧
• 三、組合計數(shù)模型 與 一一對應

一、組合數(shù)學脈絡

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組合存在性問題 : 鴿巢原理 , Remsey 定理 ;

組合計數(shù)問題 :

計數(shù)定理 : 容斥原理 , Polya 定理 ;

計數(shù)方法 : 遞推方程 , 生成函數(shù) , 指數(shù)生成函數(shù) ;

計數(shù)模型 : 選取方案 , 不定方程解 , 非降路徑問題 , 拆分方案 , 放球方案 ;

組合枚舉問題 : 生成算法 , 組合設計 ;

組合優(yōu)化問題 : 最短路徑問題 , 最小生成樹 , 網(wǎng)絡優(yōu)化 ;

三個重要的組合思想 :

• 一一對應
• 數(shù)學歸納法
• 上下界逼近處理方法

二、組合數(shù)學思想 1 : 一一對應技巧

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一一對應技巧 : 將某種計數(shù) 轉(zhuǎn)為 另外一種計數(shù) , 另外一種計數(shù)有一個非常顯然的結(jié)果 , 兩種計數(shù)的個數(shù)是一樣多的 ;

示例 $1$ :

$3\times 3\times 3$ 的立方體 , 需要切割多少次 , 才能切成 $27$ 個小的立方體 ;

最中心的小立方體 , $6$ 個面都是切出來的 , 必須切 $6$ 刀 , 才能得到 $6$ 個面 ;

最中心的小立方體的面數(shù) , 與 切割的刀數(shù) 是 一一對應 的 ;

示例 $2$ :

$n$ 個運動員比賽 , 淘汰賽制 , 需要多少次比賽 ;

$n?1$ 次 , 比賽次數(shù) 與 淘汰人數(shù) 一一對應 ;

三、組合計數(shù)模型 與 一一對應

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計數(shù)方法 : 計數(shù)模型 與 實際問題 進行對應 ;

計數(shù)模型 :

• 選取問題
• 不定方程非負整數(shù)解問題
• 非降路徑問題
• 整數(shù)拆分問題
• 放球問題

上述模型都是非常典型的組合計數(shù)模型 , 很多實際問題都可以與上述某個模型建立一一對應關系 , 這樣就可以使用上述模型的公式和方法 , 來解實際的問題 ;

參考之前學習的 Stirling 子集數(shù) , 【集合論】Stirling 子集數(shù) ( 斯特林子集數(shù)概念 | 放球模型 | Stirling 子集數(shù)遞推公式 | 劃分的二元關系 加細關系 ) 二、放球模型 ,

集合的 劃分問題 , Stirling 子集數(shù)問題 ,
與 放球模型 中的 球有編號 , 盒子沒有編號 ( 不同的球放在相同盒子里 ) 模型的方案個數(shù)
一一對應 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】组合数学简介 ( 组合数学脉络 | 组合数学技巧 | 组合思想 1 : 一一对应 )的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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