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• 一、組合思想 3 : 上下界逼近
• 二、上下界逼近示例 ( Remsey 數(shù) )

一、組合思想 3 : 上下界逼近

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上下界逼近 的思想 , 通常用于 確定某個(gè)值 , 或 確定某個(gè)函數(shù)的階 ( 函數(shù)的量級(jí) ) ;

上下界逼近 步驟 :

( 1 ) 證明值的上界

( 2 ) 證明值的下界

( 3 ) 如果 上界與下界值相等 , 則 證明結(jié)束

( 4 ) 如果 上界與下界值不相等 , 則 改進(jìn)上界 或 下界 , 使這兩個(gè)值逐漸逼近 ;

組合數(shù)學(xué)中很多組合數(shù)的值 , 有些上下界相等 , 得到了精確的值 , 有些只得到了組合數(shù)的上界和下界 , 并且 上界下界不相等 , 具體值未知 ;

二、上下界逼近示例 ( Remsey 數(shù) )

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Remsey ( 萊姆希 ) 數(shù)

$K_n$ 是完全 $n$ 階圖 , 完全圖就是 每對(duì)不同的頂點(diǎn)之間都有一條邊 , 即每個(gè)頂點(diǎn)都有連接到其它所有頂點(diǎn)的邊 ;

使用紅藍(lán)兩種顏色 , 對(duì) $K_n$ 的邊進(jìn)行涂色 , 求 在涂色中 , 出現(xiàn) 一個(gè)紅色三角形 或 一個(gè)藍(lán)色三角形 的 $n$ 的最小值 ;

結(jié)果是 $6$ ;

這個(gè) $6$ 就是上界 ;

對(duì) $K_6$ 完全圖進(jìn)行涂色 , 不管怎么涂色 , 都會(huì)出現(xiàn) 一個(gè)紅色三角形 或 一個(gè)藍(lán)色三角形 ;

$K_6$ 完全圖中 , 根據(jù)完全圖定義 , 每對(duì)不同的頂點(diǎn)之間都有一條邊 ,

每個(gè)頂點(diǎn)都關(guān)聯(lián)著五條邊 , 這 $5$ 條邊 , 必須使用兩種顏色對(duì)這 $5$ 條邊 進(jìn)行涂色 , 紅色 或 藍(lán)色 , 同種顏色的邊至少有 $3$ 條 ( 或者 $3$ 條紅色 , 或者 $3$ 條藍(lán)色 ) ,

1. 假定該頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊有 $3$ 條是紅色的 , 下圖是一個(gè)頂點(diǎn)引出 $3$ 條紅色的邊 , 這三條紅邊的另外一端的三個(gè)頂點(diǎn) , 有三條邊 , 下面討論這三條邊的情況 :

假如三條邊都是藍(lán)邊 , 如下圖 , 那么構(gòu)成一個(gè)藍(lán)色三角形 ;

假如三條邊有一條紅邊 , 如下圖 , 那么構(gòu)成一個(gè)紅色三角形 ;

2. 假定該頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)的邊有 $3$ 條是藍(lán)色的 , 下圖是一個(gè)頂點(diǎn)引出 $3$ 條藍(lán)色的邊 , 這三條藍(lán)邊的另外一端的三個(gè)頂點(diǎn) , 有三條邊 , 下面討論這三條邊的情況 :

假如三條邊都是紅邊 , 如下圖 , 那么構(gòu)成一個(gè)紅色三角形 ;

假如三條邊有一條藍(lán)邊 , 如下圖 , 那么構(gòu)成一個(gè)來(lái)藍(lán)色三角形 ;

$K_n$ 完全圖總的 $n=6$ 數(shù)值就是上界 , $n=7$ 更沒(méi)有問(wèn)題 ;

上界問(wèn)題確定了 , 現(xiàn)在討論下界 ;

討論 $n=5$ 的情況 :

舉出一個(gè)反例 , 下圖中的涂色方案中 , 既沒(méi)有藍(lán)色三角形 , 也沒(méi)有紅色三角形 , 因此 $n=5$ 時(shí) , “出現(xiàn) 一個(gè)紅色三角形 或 一個(gè)藍(lán)色三角形” 不成立 ;

因此 $n=6$ 是下界 , 不能存在比 $6$ 小的值 ;

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總結(jié)

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