文章目錄

• 一、排列組合內容概要
• 二、選取問題
• 三、集合排列
• 四、環排列
• 五、集合組合

參考博客 :

• 【組合數學】基本計數原則 ( 加法原則 | 乘法原則 )
• 【組合數學】集合的排列組合問題示例 ( 排列 | 組合 | 圓排列 | 二項式定理 )

一、排列組合內容概要

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排列組合內容概要 :

• 選取問題
• 集合的排列與組合問題
• 基本計數公式應用
• 多重集的排列與組合問題

二、選取問題

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$n$ 元集 $S$ , 從 $S$ 集合中選取 $r$ 個元素 ;

根據 元素是否允許重復 , 選取過程是否有序 , 將選取問題分為四個子類型 :

元素不重復元素可以重復

有序選取	集合排列 $P(n,r)$	多重集排列
無序選取	集合組合 $C(n,r)$	多重集組合

選取問題中 :

• 不可重復的元素 , 有序的選取 , 對應 集合的排列
• 不可重復的元素 , 無序的選取 , 對應 集合的組合
• 可重復的元素 , 有序的選取 , 對應 多重集的排列
• 可重復的元素 , 無序的選取 , 對應 多重集的組合

三、集合排列

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$n$ 元集 $S$ , 從 $S$ 集合中 有序 , 不重復 選取 $r$ 個元素 ,

該操作稱為 $S$ 集合的一個 $r?$ 排列 ,

$S$ 集合的 $r?$ 排列記作 $P(n,r)$

$$P(n,r)=?\begin{array}{ll}\frac{n!}{(n?r)!}& n\ge r\\ & \\ 0& n<r\end{array}$$

該排列公式使用乘法法則得到 : 將整個排列看做 $r$ 個位置

• 第 $1$ 個位置有 $n$ 種放置方法 , 即從當前的 $n$ 個元素中任選一個 , 剩下 $n?1$ 個元素 ;
• 第 $2$ 個位置有 $n?1$ 種放置方法 , 即從當前的 $n?1$ 個元素中任選一個 , 剩下 $n?2$ 個元素 ;
• 第 $3$ 個位置有 $n?2$ 種放置方法 , 即從當前的 $n?2$ 個元素中任選一個 , 剩下 $n?3$ 個元素 ;

$$?$$

• 第 $r$ 個位置有 $n?(r?1)=n?r+1$ 種放置方法 , 即從當前的 $n?r+1$ 個元素中任選一個 , 剩下 $n?r$ 個元素 ;

$0!=1$

四、環排列

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$n$ 元集 $S$ , 從 $S$ 集合中 有序 , 不重復 選取 $r$ 個元素 ,

$S$ 集合的 $r?$ 環排列數 $=\frac{P(n,r)}{r}=\frac{n!}{r(n?r)!}$

$r$ 個不同的線性排列 , 相當于同一個環排列 ;

一個環排列 , 從任意位置剪開 , 可以構成 $r$ 種不同的線性排列 ;

五、集合組合

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$n$ 元集 $S$ , 從 $S$ 集合中 無序 , 不重復 選取 $r$ 個元素 ,

該操作稱為 $S$ 集合的一個 $r?$ 組合 ,

$S$ 集合的 $r?$ 組合記作 $C(n,r)$

$$C(n,r)=?\begin{array}{ll}\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n?r)!}& n\ge r\\ & \\ 0& n<r\end{array}$$

$r?$ 排列也可以這樣理解 ( 先組合后排列 ) : 選出 $r$ 個有序的排列 $C(n,r)$ , 可以先將其 $r$ 個無序的選擇做出來 , 然后再對選擇好的元素進行全排列 $C(n,r)r!=P(n,r)$ ;

組合恒等式 :

$$C(n,r)=C(n,n?r)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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