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• 一、鴿巢原理簡單形式示例 4
• 二、鴿巢原理簡單形式示例 5

一、鴿巢原理簡單形式示例 4

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假設有 $3$ 個 $7$ 位二進制數 ,

$A:a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6{a}_7$
$B:b_1{b}_2{b}_3{b}_4{b}_5{b}_6{b}_7$
$C:c_1{c}_2{c}_3{c}_4{c}_5{c}_6{c}_7$

證明存在整數 $i$ 和 $j$ , $1\le i\le j\le 7$ , 使得下列之一一定成立 :

$a_i=a_j=b_i=b_j$
$a_i=a_j=c_i=c_j$
$b_i=b_j=c_i=c_j$

證明 :

二進制數 , 取值只能是 $0$ 或 $1$ ;

使用表格圖形表示 $ABC$ 三個二進制數的 $7$ 位 : 使用二進制數 $0,1$ 填寫這些位 ;

上圖中 :

• 第 $1$ 行是 二進制數字 $A$ 的 $7$ 位 ;
• 第 $2$ 行是 二進制數字 $B$ 的 $7$ 位 ;
• 第 $3$ 行是 二進制數字 $C$ 的 $7$ 位 ;

使用二進制數 $0,1$ 填寫表格中的這些位 ;

總結出以下模式 : 以列為單位 , 總結出一定的模式 , 下面的模式中每一列的第 $1～3$ 行取值為某數 ;

• ① $1?2?0$ : 某列 第 $1$ 行 , 第 $2$ 行 , 取值為 $0$ , 第 $3$ 行取值隨意 ;
  

• ② $1?2?1$ : 某列 第 $1$ 行 , 第 $2$ 行 , 取值為 $1$ , 第 $3$ 行取值隨意 ;
  

• ③ $1?3?0$ : 某列 第 $1$ 行 , 第 $3$ 行 , 取值為 $0$ , 第 $2$ 行取值隨意 ;
  

• ④ $1?3?1$ : 某列 第 $1$ 行 , 第 $3$ 行 , 取值為 $1$ , 第 $2$ 行取值隨意 ;
  

• ⑤ $2?3?0$ : 某列 第 $2$ 行 , 第 $3$ 行 , 取值為 $0$ , 第 $1$ 行取值隨意 ;
  

• ⑥ $2?3?1$ : 某列 第 $2$ 行 , 第 $3$ 行 , 取值為 $1$ , 第 $1$ 行取值隨意 ;

有以上 $6$ 種可能的模式 , 但是二進制數有 $7$ 位 ;

可以等價理解為鴿巢原理的 : 將 $7$ 個物體放到 $6$ 個盒子中 , 則 至少有一個盒子中有 $2$ 個 或 $2$ 個以上的物體 ;

因此至少有 $2$ 列或 $2$ 列以上的模式相同 ;

模式相同的兩列中 , 還有四角數字相同的矩形 , 四角方格數字滿足相同的要求 ;

因此 , 必定存在整數 $i$ 和 $j$ , $1\le i\le j\le 7$ , 使得下列之一一定成立 :

$a_i=a_j=b_i=b_j$
$a_i=a_j=c_i=c_j$
$b_i=b_j=c_i=c_j$

二、鴿巢原理簡單形式示例 5

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證明 : $1$ 到 $2n$ 的正整數中 , 任取 $n+1$ 個數 , 至少有一對數 , 其中一個數是另外一個數的倍數 ;

使用如下形式表示 $1$ 到 $2n$ 的正整數 ;

上述數字每個數字 , 除以 $2^{{\alpha }_i}$ , 會得到一個奇數 $r_i$ ;

使用 $a_i=2^{{\alpha }_i}{r}_i$ , $i=1,2,?,n+1$ 形式表示上述 $1$ 到 $2n$ 的正整數 ;

$1$ 到 $2n$ 的正整數表示說明 : ( 僅做參考 )

• 表示奇數 : 奇數 $r_i$ 就等于表示的正整數值 , $2^{{\alpha }_i}=1$ , 即 ${\alpha }_i=0$ ;
• 表示偶數 : 如果是偶數 , 至少能除以一個 $2$ , $2^{{\alpha }_i}\ge 2$ , 即 ${\alpha }_i\ge 1$ ;

$1$ 到 $2n$ 的正整數 中 , 有 $n$ 個奇數 , 是 $1,3,5,7,9,?,2n?1$ ;

每個數 $a_i=2^{{\alpha }_i}{r}_i$ 右側的 $r_i$ 奇數 取值只有 $n$ 種 , 偶數部分的右側的 $r_i$ 奇數也包含在其中 ;

現在要從 $1$ 到 $2n$ 的正整數 中 取 $n+1$ 個數 , 如果其中有奇數 , 肯定只有 $n$ 種取值 ;

將取值看做盒子 , 每個數的右邊的 $r_i$ 看做物體 , 奇數的個數是 $n+1$ 個 , 但是奇數的個數只有 $n$ 種取值 , 因此有兩個數字的 奇數部分 $r_i$ 是相等 ;

假設這兩個數分別是第 $i$ 個數 , 和第 $j$ 個數 : $r_i=r_j$ , 并且 $i<j$ ;

• 第 $i$ 個數 : $a_i=2^{{\alpha }_i}{r}_i$ , $i=1,2,?,n+1$
• 第 $j$ 個數 : $a_j=2^{{\alpha }_j}{r}_j$ , $j=1,2,?,n+1$

如果 $r_i=r_j$ , 那么 $2^{{\alpha }_j}$ 肯定是 $2^{{\alpha }_i}$ 的倍數 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】鸽巢原理 ( 鸽巢原理简单形式示例 4、5 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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