文章目錄

• 一、鴿巢原理簡單形式
• 二、鴿巢原理簡單形式示例 1
• 三、鴿巢原理簡單形式示例 2
• 四、鴿巢原理簡單形式示例 3

一、鴿巢原理簡單形式

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鴿巢原理 :

將 $n+1$ 個物體 放到 $n$ 個盒子 中 , 則

一定存在一個盒子 中 至少 含有 $2$ 個 或 $2$ 個以上的物體 ;

鴿巢原理 實際上是 多對少的配置 ; 至少存在一個多對一的情況 ;

二、鴿巢原理簡單形式示例 1

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證明 : 在邊長為 $2$ 的正三角形中 , 有 $5$ 個點 , 一定存在兩個點的距離小于 $1$ ;

將變成為 $2$ 的正三角形 , 分為 $4$ 個小的正三角形 , 每個邊長為 $1$ ; 如下圖 :

在 $4$ 個小正方形中 , 繪制 $5$ 個點 ;

根據(jù)鴿巢原理 , 上述問題可以轉(zhuǎn)為 將 $5$ 個物體放入 $4$ 個盒子中 , 至少有一個盒子中有 $2$ 個 或 $2$ 個以上的物體 ;

在一個正三角形格子中 , 如果繪制了兩個點 , 其距離肯定小于 $1$ ;

三、鴿巢原理簡單形式示例 2

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證明 : $9\times 3$ 的方格 , 使用黑色 , 白色 兩種顏色進行涂色 , 必定存在兩列相同的涂色方案 ;

先將可能的涂色方案枚舉出來 : 一共只可能存在 $2^3=8$ 種可能的涂色方案 ;

在 $9$ 列方格中 , 使用 $8$ 種模式進行涂色 ;

可以等價理解為鴿巢原理的 : 將 $9$ 個物體放到 $8$ 個盒子中 , 則 至少有一個盒子中有 $2$ 個 或 $2$ 個以上的物體 ;

因此至少有 $2$ 列或 $2$ 列以上的格子會被涂成一種顏色 ;

四、鴿巢原理簡單形式示例 3

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證明 : 空間中有 $9$ 個格點 , 所有的兩點連線的中點 , 有一個格點 ;

格點指的是整數(shù)點 ;

連線中點是格點的要求 : 空間坐標(biāo) $(x,y,z)$ 與 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ 有相同的奇偶性 , 即

• $x,x^{\prime }$ 同為奇數(shù)或偶數(shù) ,
• $y,y^{\prime }$ 同為奇數(shù)或偶數(shù) ,
• $z,z^{\prime }$ 同為奇數(shù)或偶數(shù) ,

此時這兩個空間坐標(biāo)的連線中點就是 格點 , 即整數(shù)點 ;

下面分析三個坐標(biāo)分別奇偶性相同時 , 中點是格點的原因 :

連線中點坐標(biāo)公式為 : $(\frac{x+x^{\prime }}{2},\frac{y+y^{\prime }}{2},\frac{z+z^{\prime }}{2})$

當(dāng)奇偶性相同的時候 , 連線中點的空間坐標(biāo)的三個數(shù)都是整數(shù) ;

空間坐標(biāo) $(x,y,z)$ 與 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ 的奇偶模式有 $2^3=8$ 種 ; 分別是

• 第 $1$ 個坐標(biāo) $x,x^{\prime }$ 奇偶相同 / 不同 , 兩種情況 ;
• 第 $2$ 個坐標(biāo) $y,y^{\prime }$ 奇偶相同 / 不同 , 兩種情況 ;
• 第 $3$ 個坐標(biāo) $z,z^{\prime }$ 奇偶相同 / 不同 , 兩種情況 ;

上述每個坐標(biāo)有兩種情況 , 三個坐標(biāo)下來就是 $2\times 2\times 2=8$ 種情況 , 這是乘法原則 ;

空間中 $9$ 個格點 , 每個格點的奇偶模式有 $8$ 種 ;

可以等價理解為鴿巢原理的 : 將 $9$ 個物體放到 $8$ 個盒子中 , 則 至少有一個盒子中有 $2$ 個 或 $2$ 個以上的物體 ;

因此至少有 $2$ 個或 $2$ 個以上的格點的奇偶模式是相同的 ;

因此 : $2$ 個奇偶模式相同的格點連接的中點 , 肯定是格點 ;

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總結(jié)

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