文章目錄

• 一、多重集
• 二、多重集全排列
• 三、多重集全排列示例
• 三、多重集非全排列 1 所有元素重復度大于排列數 ( $n_i\ge r$ )
• 四、多重集非全排列 2 某些元素重復度小于排列數 ( $n_i\le r$ )

排列組合參考博客 :

• 【組合數學】基本計數原則 ( 加法原則 | 乘法原則 )
• 【組合數學】集合的排列組合問題示例 ( 排列 | 組合 | 圓排列 | 二項式定理 )
• 【組合數學】排列組合 ( 排列組合內容概要 | 選取問題 | 集合排列 | 集合組合 )
• 【組合數學】排列組合 ( 排列組合示例 )

一、多重集

---

多重集表示 :

$$S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\},0\le n_i\le +\infty$$

• 元素種類 : 多重集中含有 $k$ 種不同的元素 ,
• 元素表示 : 每個元素表示為 $a_1,a_2,?,a_k$ ,
• 元素個數 : 每個元素出現的次數是 $n_1,n_2,?,n_k$ ,
• 元素個數取值 : $n_i$ 的取值要求是 大于 $0$ , 小于正無窮 $+\infty$ ;

二、多重集全排列

---

多重集 :

$$S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\},0\le n_i\le +\infty$$

★ 全排列 : $r=n_1+n_2+?+n_k=n$

$$N=\frac{n!}{n_1!n_2!?n_k!}$$

★ 多重集的全排列數是 元素總數階乘 , 除以 所有重復度的階乘 ;

下面是推導過程

有 $k$ 種元素 ,

放置元素 $a_1$ : 在排列中先放第一種元素 $a_1$ , 該元素有 $n_1$ 個 , $n$ 個位置中選出 $n_1$ 個 位置 , 有$C(n,n_1)$ 種方法 ;

$$C(n,n_1)=\frac{n!}{(n?n_1)!n_1!}$$

放置元素 $a_2$ : 放置好 $n_1$ 之后放置第二種元素 $a_2$ , 該元素有 $n_2$ 個 , 此時還有 $n?n_1$ 個空位 , 從 $n?1$ 個位置中選擇 $n_2$ 個位置有 $C(n?n_1,n_2)$ 種方法 ;

$$C(n?n_1,n_2)=\frac{(n?n_1)!}{(n?n_1?n_2)!n_2!}$$

$$?$$

放置元素 $a_k$ : 放置最后一個元素 $a_k$ , 該元素有 $n_k$ 個 , 此時還有 $n?n_1???n_{k?1}$ 個空位 , 從 $n?n_1???n_{k?1}$ 個位置中選擇 $n_k$ 個位置有 $C(n?n_1???n_{k?1},n_k)$ 種方法 ;

$$C(n?n_1???n_{k?1},n_k)=\frac{(n?n_1???n_{k?1})!}{(n?n_1???n_{k?1}?n_k)!n_k!}$$

乘法法則 : 最后根據乘法法則 , 將上述每個放置方法乘起來 , 就得到最終的結果 , 階乘看起來很復雜 , 但是 階乘選項如 $(n?n_1???n_{k?1})!$ 都可以約掉 , 最終結果如下 :

$$\begin{array}{lcl}N& =& C(n,n_1)C(n?n_1,n_2)C(n?n_1???n_{k?1},n_k)\\ & & \\ & =& \frac{n!}{(n?n_1)!n_1!}\times \frac{(n?n_1)!}{(n?n_1?n_2)!n_2!}\times \frac{(n?n_1???n_{k?1})!}{(n?n_1???n_{k?1}?n_k)!n_k!}約掉部分階乘\\ & & \\ & =& \frac{n!}{n_1!n_2!?n_k!}\end{array}$$

三、多重集全排列示例

---

求多重集 $S=\{3?a,2?b,1?c\}$ 的全排列 ?

上述多重集元素總個數是 $n=3+2+1=6$ ;

全排列個數是 :

$$N=\frac{6!}{3!\times 2!\times 1!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{(3\times 2\times 1)\times (2\times 1)\times (1\times 1)}=60$$

三、多重集非全排列 1 所有元素重復度大于排列數 ( $n_i\ge r$ )

---

多重集 :

$$S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\},0\le n_i\le +\infty$$

★ 非全排列情況 $1$ : $r\le n_i$ , 注意這里的 $r$ 要 小于等于 最小的 $n_i$ ;

$$N=k^r$$

推導過程 :

在上述條件下 ,

$r$ 個位置 ,

每個位置的元素都有 $k$ 種選擇 ,

根據乘法法則 , 總的選擇個數是 $\begin{array}{c}k\times k\times ?\times k\\ r個k\end{array}$ ,

即 $r^k$ ;

四、多重集非全排列 2 某些元素重復度小于排列數 ( $n_i\le r$ )

---

上述情況只適用于重復度足夠大的情況 , 即 每個元素的重復度都大于選取個數 , $r\le n_i$

如果 有一個元素的重復度小于選取個數 , $r\ge n_i$ ,

如 $S=\{3?a,2?b,1?c\}$ 多重集的三排列 , 就無法使用公式計算了 ,

沒有公式可以計算 , 但是可以 使用 包含排斥原理 , 生成函數 進行計算 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列 某些元素重复度小于排列数 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。