文章目錄

• 一、多重集組合 ( 所有元素重復(fù)度大于組合數(shù) )
• 二、多重集組合 所有元素重復(fù)度大于組合數(shù) 推導(dǎo) 1 ( 分割線推導(dǎo) )
• 二、多重集組合 所有元素重復(fù)度大于組合數(shù) 推導(dǎo) 2 ( 不定方程非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)推導(dǎo) )

排列組合參考博客 :

• 【組合數(shù)學(xué)】基本計(jì)數(shù)原則 ( 加法原則 | 乘法原則 )
• 【組合數(shù)學(xué)】集合的排列組合問(wèn)題示例 ( 排列 | 組合 | 圓排列 | 二項(xiàng)式定理 )
• 【組合數(shù)學(xué)】排列組合 ( 排列組合內(nèi)容概要 | 選取問(wèn)題 | 集合排列 | 集合組合 )
• 【組合數(shù)學(xué)】排列組合 ( 排列組合示例 )
• 【組合數(shù)學(xué)】排列組合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重復(fù)度大于排列數(shù) | 多重集非全排列 某些元素重復(fù)度小于排列數(shù) )

一、多重集組合 ( 所有元素重復(fù)度大于組合數(shù) )

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多重集 :

$$S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\},0\le n_i\le +\infty$$

• 元素種類 : 多重集中含有 $k$ 種不同的元素 ,
• 元素表示 : 每個(gè)元素表示為 $a_1,a_2,?,a_k$ ,
• 元素個(gè)數(shù) : 每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)是 $n_1,n_2,?,n_k$ ,
• 元素個(gè)數(shù)取值 : $n_i$ 的取值要求是 大于 $0$ , 小于正無(wú)窮 $+\infty$ ;

上述多重集的組合 , 當(dāng) 所有元素的重復(fù)度 $n_i$ 組大于組合數(shù) $r$ 時(shí) , $r\le n_i$ 時(shí) , 多重集的組合數(shù)為

$$N=C(k+r?1,r)$$

二、多重集組合 所有元素重復(fù)度大于組合數(shù) 推導(dǎo) 1 ( 分割線推導(dǎo) )

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多重集 :

$$S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\},0\le n_i\le +\infty$$

取 $r$ 種元素的組合 , $r\le n_i$ , 推導(dǎo)過(guò)程如下 :

在 $k$ 種元素中 , 取 $r$ 種元素 , 每種元素取 $0～r$ 個(gè)不等的元素 ,

使用 $k?1$ 個(gè)分割線分割 $k$ 種元素的位置 , $k?1$ 個(gè)分割線相當(dāng)于組成了 $k$ 個(gè)盒子 , 在每個(gè)盒子中放 $0～r$ 個(gè)不等的元素 ,

放置的總元素的個(gè)數(shù)是 $r$ 個(gè) , 分割線個(gè)數(shù)是 $k?1$ 個(gè) , 這里就產(chǎn)生了一個(gè)組合問(wèn)題 , 在 $k?1$ 個(gè)分割線 和 $r$ 個(gè)元素之間 , 選取 $r$ 個(gè)元素 , 就是 多重集的 $r\le n_i$ 情況下的 組合個(gè)數(shù) ;

結(jié)果是 :

$$N=C(k+r?1,r)$$

二、多重集組合 所有元素重復(fù)度大于組合數(shù) 推導(dǎo) 2 ( 不定方程非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)推導(dǎo) )

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多重集 :

$$S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\},0\le n_i\le +\infty$$

取 $r$ 種元素的組合 , $r\le n_i$ , 推導(dǎo)過(guò)程如下 :

多重集 $S$ 每個(gè)元素取值 :

• 第 $1$ 種元素取值個(gè)數(shù) : 元素 $a_1$ 的取值個(gè)數(shù)是 $x_1$ ,

• 第 $2$ 種元素取值個(gè)數(shù) : 元素 $a_2$ 的取值個(gè)數(shù)是 $x_2$ ,

$?$

• 第 $k$ 種元素取值個(gè)數(shù) :元素 $a_k$ 的取值個(gè)數(shù)是 $x_k$ ;

不定方程 $x_1+x_2+?+x_k=r$ ;

$x_i$ 可以為 $0$ , 即某個(gè)元素取值個(gè)數(shù)可以是 $0$ ;

則多重集 $S$ 的 $r$ 組合是 : $$\{x_1?a_1,x_2?a_2,?,x_k?a_k\}$$

$x_i$ 的取值是非負(fù)整數(shù)

多重集組合與方程對(duì)應(yīng) : 只要有一個(gè) $r$ 組合 , 就可以寫(xiě)出一個(gè)對(duì)象的 方程 $x_1+x_2+?+x_k=r$ 出來(lái) ;

非負(fù)整數(shù)解與多重集組合對(duì)應(yīng) : $x_1+x_2+?+x_k=r$ 不定方程的一組非負(fù)整數(shù)解 , 就對(duì)應(yīng)著 一個(gè) $S$ 多重集的 $r$ 組合 ;

一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 : 上述

方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)

與

$S$ 多重集的 $r$ 組合個(gè)數(shù) 一一對(duì)應(yīng) ;

求 $S$ 多重集的 $r$ 組合數(shù) , 就可以轉(zhuǎn)化成 求 $x_1+x_2+?+x_k=r$ 方程非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù) ;

將上述解寫(xiě)成一個(gè)序列 , 序列中使用 $k?1$ 個(gè) $0$ , 分割 $k$ 組 $1$ ;

$\begin{array}{c}1?1\\ x_1個(gè)1\end{array}$ $0$ $\begin{array}{c}1?1\\ x_2個(gè)1\end{array}$ $0$ $\begin{array}{c}1?1\\ x_3個(gè)1\end{array}$ $0$ $?$ $0$ $\begin{array}{c}1?1\\ x_k個(gè)1\end{array}$

不定方程每個(gè)解 都對(duì)應(yīng)著 上述 $k?1$ 個(gè) $0$ 和 $r$ 個(gè) $1$ 的一個(gè)排列 ;

相當(dāng)于一個(gè)多重集 $S^{\prime }=\{r?1,(k?1)?0\}$ 的全排列 ;

這里就將 多重集的組合問(wèn)題 , 轉(zhuǎn)化成了 另外一個(gè)多重集的全排列問(wèn)題 , 多重集全排列是有公式的 ;

多重集全排列的公式是 : ( 回顧知識(shí)點(diǎn) ① )

$$S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\},0\le n_i\le +\infty$$

★ 全排列 : $r=n_1+n_2+?+n_k=n$

$$N=\frac{n!}{n_1!n_2!?n_k!}$$

★ 多重集的全排列數(shù)是 元素總數(shù)階乘 , 除以 所有重復(fù)度的階乘 ;

參考 : 【組合數(shù)學(xué)】排列組合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重復(fù)度大于排列數(shù) | 多重集非全排列 某些元素重復(fù)度小于排列數(shù) ) 二、多重集全排列

( 回顧知識(shí)點(diǎn)完畢 ① )

可以根據(jù)上述公式 , 計(jì)算 多重集 $S^{\prime }=\{r?1,(k?1)?0\}$ 的全排列 , 結(jié)果是 :

$$N=\frac{(r+k?1)!}{r!(k?1)!}$$

★ 排列數(shù)與組合數(shù)回顧 : ( 回顧知識(shí)點(diǎn) ② )

• 排列數(shù) : $n$ 元集 $S$ , 從 $S$ 集合中 有序 , 不重復(fù) 選取 $r$ 個(gè)元素 , $P(n,r)=\frac{n!}{(n?r)!}$
• 組合數(shù) : $n$ 元集 $S$ , 從 $S$ 集合中 無(wú)序 , 不重復(fù) 選取 $r$ 個(gè)元素 , $C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}\frac{n!}{(n?r)!r!}$

參考 : 【組合數(shù)學(xué)】排列組合 ( 排列組合內(nèi)容概要 | 選取問(wèn)題 | 集合排列 | 集合組合 )

( 回顧知識(shí)點(diǎn)完畢 ② )

由上述的組合數(shù)可以看出 , $$N=\frac{(r+k?1)!}{r!(k?1)!}$$

的值正好是從 $r+k?1$ 個(gè)元素中取 $r$ 個(gè)元素的組合數(shù) ;

$$N=\frac{(r+k?1)!}{r!(k?1)!}=C(r+k?1,r)$$

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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