文章目錄

• 一、多重集組合示例
• 二、三個計數模型

排列組合參考博客 :

• 【組合數學】基本計數原則 ( 加法原則 | 乘法原則 )
• 【組合數學】集合的排列組合問題示例 ( 排列 | 組合 | 圓排列 | 二項式定理 )
• 【組合數學】排列組合 ( 排列組合內容概要 | 選取問題 | 集合排列 | 集合組合 )
• 【組合數學】排列組合 ( 排列組合示例 )
• 【組合數學】排列組合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重復度大于排列數 | 多重集非全排列 某些元素重復度小于排列數 )
• 【組合數學】排列組合 ( 多重集組合數 | 所有元素重復度大于組合數 | 多重集組合數 推導 1 分割線推導 | 多重集組合數 推導 2 不定方程非負整數解個數推導 )

一、多重集組合示例

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將 $r$ 個相同的球 , 放到 $k$ 個不同的盒子中 , 每個盒子中球的個數不限 , 求放球的總方法數 ?

球是沒有區別的 , 球放到盒子里 , 球沒有標號 , 盒子有標號 , 每個盒子放球的個數不同 ;

落入每個盒子中球個數不同 , 就是不同的方案 ;

假設 $n$ 個盒子 , 每個盒子的球數為 $x_1,x_2,?,x_k$ ;

存在不定方程 : $x_1+x_2+?+x_k=r$

取值 : $x_1,x_2,?,x_k$ 的取值為非負整數 , 可以取值 $0～r$ 之間的值 ;

該問題可以等價于多重集 $$S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\},0\le r\le n_i\le +\infty$$ 的 $r$ 組合數 ;

$$N=C(k+r?1,r)$$

參考 : 【組合數學】排列組合 ( 多重集組合數 | 所有元素重復度大于組合數 | 多重集組合數 推導 1 分割線推導 | 多重集組合數 推導 2 不定方程非負整數解個數推導 )

上述 $r$ 個相同的球 , 放在 $k$ 個不同盒子中 , 放球方法數是
$$N=C(k+r?1,r)$$

二、三個計數模型

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三個計數模型 :

• ① 選取問題 :
• ② 多重集組合問題 :
• ③ 方程非負整數解 :

1. 選取問題 :

$n$ 元集 $S$ , 從 $S$ 集合中選取 $r$ 個元素 ;

根據 元素是否允許重復 , 選取過程是否有序 , 將選取問題分為四個子類型 :

元素不重復元素可以重復

有序選取	集合排列 $P(n,r)$	多重集排列
無序選取	集合組合 $C(n,r)$	多重集組合

選取問題中 :

• 不可重復的元素 , 有序的選取 , 對應 集合的排列
• 不可重復的元素 , 無序的選取 , 對應 集合的組合
• 可重復的元素 , 有序的選取 , 對應 多重集的排列
• 可重復的元素 , 無序的選取 , 對應 多重集的組合

2. 多重集組合問題 :

$$S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\},0\le n_i\le +\infty$$

• 元素種類 : 多重集中含有 $k$ 種不同的元素 ,
• 元素表示 : 每個元素表示為 $a_1,a_2,?,a_k$ ,
• 元素個數 : 每個元素出現的次數是 $n_1,n_2,?,n_k$ ,
• 元素個數取值 : $n_i$ 的取值要求是 大于 $0$ , 小于正無窮 $+\infty$ ;

上述多重集的組合 , 當 所有元素的重復度 $n_i$ 組大于組合數 $r$ 時 , $r\le n_i$ 時 , 多重集的組合數為

$$N=C(k+r?1,r)$$

3. 不定方程非負整數解問題 : $$x_1+x_2+?+x_k=r$$

非負整數解個數為 : $$N=C(k+r?1,r)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数示例 | 三个计数模型 | 选取问题 | 多重集组合问题 | 不定方程非负整数解问题 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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