文章目錄

• 一、集合排列、分步處理示例

排列組合參考博客 :

• 【組合數學】基本計數原則 ( 加法原則 | 乘法原則 )
• 【組合數學】集合的排列組合問題示例 ( 排列 | 組合 | 圓排列 | 二項式定理 )
• 【組合數學】排列組合 ( 排列組合內容概要 | 選取問題 | 集合排列 | 集合組合 )
• 【組合數學】排列組合 ( 排列組合示例 )
• 【組合數學】排列組合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重復度大于排列數 | 多重集非全排列 某些元素重復度小于排列數 )
• 【組合數學】排列組合 ( 多重集組合數 | 所有元素重復度大于組合數 | 多重集組合數 推導 1 分割線推導 | 多重集組合數 推導 2 不定方程非負整數解個數推導 )
• 【組合數學】排列組合 ( 多重集組合數示例 | 三個計數模型 | 選取問題 | 多重集組合問題 | 不定方程非負整數解問題 )
• 【組合數學】排列組合 ( 兩個計數原則、集合排列示例 | 集合排列、圓排列示例 )
• 【組合數學】排列組合 ( 集合組合、一一對應模型分析示例 )

一、集合排列、分步處理示例

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有 $9$ 本不同的書 , $4$ 本紅皮 , $5$ 本白皮 ;

1. $9$ 本書的排列方式 :

$9$ 本書 , 每本書都是不同的 , 元素不重復 , 排列方式指的是有序選取 ,

因此這里 元素不重復 , 有序選取 , 對應的是 集合的排列 , 使用集合排列公式 ;

$$N=P(n,r)=P(9,9)=\frac{9!}{(9?9)!}=9!$$

★ 排列數與組合數回顧 :

• 排列數 : $n$ 元集 $S$ , 從 $S$ 集合中 有序 , 不重復 選取 $r$ 個元素 , $P(n,r)=\frac{n!}{(n?r)!}$
• 組合數 : $n$ 元集 $S$ , 從 $S$ 集合中 無序 , 不重復 選取 $r$ 個元素 , $C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}\frac{n!}{(n?r)!r!}$
  參考 : 【組合數學】排列組合 ( 排列組合內容概要 | 選取問題 | 集合排列 | 集合組合 )

2. 白皮書放在一起的排列方式 :

分步處理 : 需要進行分步處理 , 先將白皮書排列好 , 然后將 所有白皮書 當做一個元素 , 與紅皮書進行排序 ;

( 1 ) 第 $1$ 步 : $5$ 本白皮書放在一起 , 排列方式就是 元素不重復 有序選取 , 是集合的排列 ;

$$N=P(n,r)=P(5,5)=\frac{5!}{(5?5)!}=5!$$

( 2 ) 第 $2$ 步 : $4$ 本紅皮書 , 與一組白皮書 進行排序 , 有 $5$ 個元素 , 將其進行全排列 ;

$$N=P(n,r)=P(5,5)=\frac{5!}{(5?5)!}=5!$$

( 3 ) 分步匯總 ( 乘法原則 ) : 將上述兩個步驟的排列方案個數相乘 , 就是最終結果 ;

$$N=5!5!$$

3. 白皮書放在一起 , 紅皮書放在一起 的排列方式 :

分步處理 : 需要進行分步處理 ,

• 先將白皮書排列好 ;
• 再將紅皮書排列好 ;
• 最后將 所有白皮書 當做一個元素 , 所有的紅皮書當做一個元素 , 將上述兩個元素進行排列 ;

( 1 ) 第 $1$ 步 : $5$ 本白皮書放在一起 , 排列方式就是 元素不重復 有序選取 , 是集合的排列 ;

$$N=P(n,r)=P(5,5)=\frac{5!}{(5?5)!}=5!$$

( 2 ) 第 $2$ 步 : $4$ 本紅皮書放在一起 , 排列方式就是 元素不重復 有序選取 , 是集合的排列 ;

$$N=P(n,r)=P(4,4)=\frac{4!}{(4?4)!}=4!$$

( 3 ) 第 $3$ 步 : 最后將 所有白皮書 當做一個元素 , 所有的紅皮書當做一個元素 , 將上述兩個元素進行排列 ;

$$N=P(n,r)=P(2,2)=\frac{2!}{(2?2)!}=2!$$

( 4 ) 分步匯總 ( 乘法原則 ) : 將上述 $3$ 個步驟的排列方案個數相乘 , 就是最終結果 ;

$$N=5!4!2!$$

4. 白皮書和紅皮書相間排列 的排列方式 :

分步處理 : 需要進行分步處理 ,

• 先將白皮書排列好 ;
• 再將紅皮書插空放入 ;

( 1 ) 第 $1$ 步 : $5$ 本白皮書放在一起 , 排列方式就是 元素不重復 有序選取 , 是集合的排列 ;

$$N=P(n,r)=P(5,5)=\frac{5!}{(5?5)!}=5!$$

( 2 ) 第 $2$ 步 : $5$ 本白皮書排列形成了 $4$ 個空位 , 將紅皮書插空放入 $4$ 個位置 , 即集合全排列 ;

$$N=P(n,r)=P(4,4)=\frac{4!}{(4?4)!}=4!$$

( 3 ) 分步匯總 ( 乘法原則 ) : 將上述 $2$ 個步驟的排列方案個數相乘 , 就是最終結果 ;

$$N=5!4!$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】排列组合 ( 集合排列、分步处理示例 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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