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【组合数学】组合恒等式 ( 递推组合恒等式 | 变下项求和组合恒等式简单和 | 变下项求和组合恒等式交错和 )

發布時間：2025/6/17 编程问答 29 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【组合数学】组合恒等式 ( 递推组合恒等式 | 变下项求和组合恒等式简单和 | 变下项求和组合恒等式交错和 ) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

一、組合恒等式 ( 遞推式 )
二、組合恒等式 ( 變下項求和 ) 簡單和
二、組合恒等式 ( 變下項求和 ) 交錯和

一、組合恒等式 ( 遞推式 )

組合恒等式 ( 遞推式 ) :

1 . $(nk)=(nn?k)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$ , 作用 : 化簡

2 . $(nk)=nk(n?1k?1)\dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1}$ , 作用 : 求和時消去變系數 ;

3 . $(nk)=(n?1k)+(n?1k?1)\dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1}$ , 作用 : 求和時拆項 , 將一個組合數拆分成兩項之和 , 或兩項之差 , 然后合并 ;

二、組合恒等式 ( 變下項求和 ) 簡單和

簡單和 :

$∑k=0n(nk)=2n\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n$

1. 證明 ( 二項式定理 ) : 通過二項式定理可以證明 , $y)^n = \sum\limits_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k}$ 中 , 使 $x = y = 1$ , 即可得到上面的簡單和組合恒等式 ;

2. 證明 ( 組合分析 ) : 將等號左邊和右邊各看做某個組合計數問題的解 ,

( 1 ) 左側組合計數問題 : $∑k=0n(nk)\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}$ 可以看做 $n$ 個元素的所有子集個數 ; ( 這也是集合中的冪集個數 ) ;

這是分類計數 , 最后將所有的類個數相加 , 即包含 $0$ 個元素個數 , 包含 $1$ 個元素子集個數 , $?\cdots$ , 包含 $n$ 個元素子集個數 ;

( 2 ) 右側組合計數問題 : $n$ 個元素中 , 每個元素都有放入子集中 , 不放入子集中 , 兩種選擇 , 那么所有元素的選擇有 , $2×2×?×2?n個=2n\begin{matrix} \underbrace{ 2 \times 2 \times \cdots \times 2 } \\ n 個\end{matrix} = 2^n$ 個選擇 , 這是分步計數的乘法法則 ,

這是分步計數 , 最后將所有的分步結果相乘 , 即第 $1$ 個元素選擇個數 , 第 $2$ 個元素選擇個數 , $?\cdots$ , 第 $n$ 個元素選擇個數 ;

3. 應用場景 : 在序列求和場景使用 ;

二、組合恒等式 ( 變下項求和 ) 交錯和

交錯和 :

$∑k=0n(?1)k(nk)=0\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \dbinom{n}{k} = 0$

1. 證明 ( 二項式定理 ) : 通過二項式定理可以證明 , $y)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^k y^{n-k}$ 中 , 使 $x = ? 1, y = 1$ , 即可得到上面的交錯和組合恒等式 ;

2. 證明 ( 組合分析 ) : 將等號左邊和右邊各看做某個組合計數問題的解 , 完全展開上述組合數 , 這里需要先移項 , 將 $k$ 為奇數的情況下 , $1)^k$ 為 $? 1$ , 將這種情況的分項移到右邊 , 就有了如下公式 :

$∑k=0偶數(nk)=∑k=1奇數(nk)\sum_{k=0}^{偶數} \dbinom{n}{k} = \sum_{k=1}^{奇數} \dbinom{n}{k}$

( 1 ) 左側組合計數問題 : $∑k=0偶數(nk)\sum_{k=0}^{偶數} \dbinom{n}{k}$ 可以看做 $n$ 個元素的所有偶數個子集個數 ;

( 2 ) 右側組合計數問題 : $∑k=1奇數(nk)\sum_{k=1}^{奇數} \dbinom{n}{k}$ 可以看做 $n$ 個元素的所有奇數個子集個數 ;

上述奇數子集個數與偶數子集個數是相等的 ;