文章目錄

• 一、給定級數求生成函數
• 二、給定生成函數求級數

參考博客 :

• 【組合數學】生成函數 簡要介紹 ( 生成函數定義 | 牛頓二項式系數 | 常用的生成函數 | 與常數相關 | 與二項式系數相關 | 與多項式系數相關 )
• 【組合數學】生成函數 ( 線性性質 | 乘積性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 移位性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 求和性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 換元性質 | 求導性質 | 積分性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 性質總結 | 重要的生成函數 ) ★

數列的 通項公式 就是 級數

一、給定級數求生成函數

---

求 $b_n=7?3^n$ 的生成函數 ;

已知數列是 $1^n$ , 對應的生成函數是
$\{a_n\}$ , $a_n=1^n$ ; $\begin{array}{r}A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1?x}\end{array}$

先根據 數列 通項表示 , 寫出級數之和 :

$G(x)=7\times 3^0{x}^0+7\times 3^1{x}^1+7\times 3^2{x}^2+?+7\times 3^n{x}^n+?$

將常數提取到外部 :

$G(x)=7(3^0{x}^0+3^1{x}^1+3^2{x}^2+?+3^n{x}^n+?)$

寫成合式 :

$G(x)=7\sum _{n=0}^{\infty }{3}^n{x}^n$

根據生成函數換元性質 : 通過換元 , 將 $3x$ 看做一項 :

$G(x)=7\sum _{n=0}^{\infty }(3x{)}^n$

根據 常用生成函數 $A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1?x}$

可以得出 : $\sum _{n=0}^{\infty }(3x{)}^n=\frac{1}{1?3x}$

根據生成函數線性性質 , 乘法性質 : $b_n=\alpha a_n$ , 則 $B(x)=\alpha A(x)$

可以得出最終的生成函數 $G(x)=7\sum _{n=0}^{\infty }(3x{)}^n=\frac{7}{1?3x}$

二、給定生成函數求級數

---

給定序列 $\{b_n\}$ 的生成函數 $G(x)=\frac{2}{1?3x+2x^2}$ , 求 $\{b_n\}$

先將 生成函數 轉化為 其它 生成函數 之和 ;

$G(x)=\frac{2}{1?3x+2x^2}$

將 $1?3x+2x^2$ 分解因式 , 分解為 $(1?x)(1?2x)$

將其轉為 如下形式的和 , 分子 $A,B$ 是待定常數 ;

$G(x)=\frac{2}{1?3x+2x^2}=\frac{A}{1?x}+\frac{B}{1?2x}$

將上述式子同分 , 表達成 $A,B$ 的分式 :

$G(x)=\frac{A}{1?x}+\frac{B}{1?2x}=\frac{A(1?2x)+B(1?x)}{(1?x)(1?2x)}$

$=\frac{A?2Ax+B?Bx}{(1?x)(1?2x)}$

$=\frac{(A+B)?(2A+B)x}{(1?x)(1?2x)}$

$=\frac{(A+B)?(2A+B)x}{1?3x+2x^2}$

與 $G(x)=\frac{2}{1?3x+2x^2}$ 的分子的 $x$ 項 與 常數項 對比 :

$x$ 一次方項是 $0$ , 即 $2A+B=0$

常數項是 $2$ , 即 $A+B=2$

得到方程組 :

$?\begin{array}{l}A+B=2\\ \\ 2A+B=0\end{array}$

解上述方程組 , 得到結果 :

$?\begin{array}{l}A=?2\\ \\ B=4\end{array}$

則生成函數最終分解成了 : $G(x)=\frac{2}{1?3x+2x^2}=\frac{?2}{1?x}+\frac{4}{1?2x}$

使用線性性質 :

$\frac{?2}{1?x}$ 對應的級數是 : $\sum _{n=0}^{\infty }(?2)x^n$ , 數列通項是 $c_n=?2$ ;

使用線性性質 , 換元性質 :

$\frac{4}{1?2x}$ 對應的級數是 : $\sum _{n=0}^{\infty }4(2x{)}^n=\sum _{n=0}^{\infty }4?2^n{x}^n$ , 數列通項是 $4?2^n$

最終的數列是 : $b_n=?2+4?2^n$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。