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【组合数学】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 )

發(fā)布時間：2025/6/17 编程问答 24 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【组合数学】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 ) 小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

一、生成函數(shù)應用場景
二、使用生成函數(shù)求解遞推方程

參考博客 :

【組合數(shù)學】生成函數(shù) 簡要介紹 ( 生成函數(shù)定義 | 牛頓二項式系數(shù) | 常用的生成函數(shù) | 與常數(shù)相關(guān) | 與二項式系數(shù)相關(guān) | 與多項式系數(shù)相關(guān) )
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【組合數(shù)學】生成函數(shù) ( 生成函數(shù)示例 | 給定通項公式求生成函數(shù) | 給定生成函數(shù)求通項公式 )

一、生成函數(shù)應用場景

生成函數(shù)應用場景 :

求解遞推方程
多重集 $r$ 組合計數(shù)
不定方程解個數(shù)
整數(shù)拆分

多重集 $r$ 組合計數(shù) , 之前只能計數(shù)特殊情況下的組合數(shù) , 也就是選取數(shù) $r$ 小于多重集每一項的重復度 , 才有組合數(shù) $N = C (k + r ? 1, r)$ , 如果 $r$ 大于重復度 , 就需要使用生成函數(shù)進行求解 ;

不定方程的解個數(shù) , 之前只能求解沒有約束的情況 , 如果對變量有約束 , 如 $x_1$ 只能在某個區(qū)間取值 , 這種情況下 , 就必須使用生成函數(shù)進行求解 ;

整數(shù)拆分 , 將一個正數(shù)拆分多若干整數(shù)之和 , 拆分方案個數(shù) , 也可以通過生成函數(shù)進行計算 ;

回顧多重集排列組合 :

可重復的元素 , 有序的選取 , 對應 多重集的排列 ; $\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}$ , 非全排列 $kr,r≤nik^r , \ \ r\leq n_i$
可重復的元素 , 無序的選取 , 對應 多重集的組合 ; $N = C (k + r ? 1, r)$

二、使用生成函數(shù)求解遞推方程

遞推方程 : $a_n - 5a_{n-1} + 6a_{n-2} = 0$

初值 : $a_0 = 1, a_1 = 2$

${a_n\}$ 數(shù)列為 ${a0,a1,a2,a3,?,an,?}\{ a_0 , a_1, a_2, a_3 , \cdots , a_n , \cdots\}$

$a_n$ 對應的生成函數(shù)是 $a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3x^3 + \cdots$

根據(jù)遞推方程 , 同時為了使得后面的項可以約掉 , 使用 $? 5 x$ 乘以 $G (x)$ 生成函數(shù) , 使用 $6x^2$ 乘以 $G (x)$ , 得到如下三個式子 ,

$? 5 x$ 乘以 $G (x)$ 得到的第一項就是 $x$ 的一次方項 , 將該項對應到 $G (x)$ 中的 $x$ 一次方項下面 ,

$6x^2$ 乘以 $G (x)$ 得到的第一項就是 $x$ 的二次方項 , 將該項對應到 $G (x)$ 中的 $x$ 二次方項下面 ;

$G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+?\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3x^3 + \cdots$

$?5xG(x)=?5a0x?5a1x2?5a2x3??\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -5x \ G(x) = \ \ \ \ -5a_0x - 5a_1x^2 - 5a_2x^3 - \cdots$

$6x2G(x)=+6a0x2+6ax3+?\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^2 \,G(x) = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \,6a_0x^2 + 6a_x^3 + \cdots$

$1-5x+6x^2)G(x) =a_0 + (a_1 - 5a_0)x$

上述橫線下的式子是橫線上面三個式子相加的結(jié)果 ;

觀察上述右側(cè) 第三列 , 圖中紅框部分 ;

上述冪次對齊后 , 出現(xiàn)的等號右側(cè)的第三列 $a_2 x^2 -5a_1x^2 + \,6a_0x^2$ , 將其中 $x^2$ 提取出來得到 $a_2 - 5a_1 + 6a_0)x^2$ , 正好對應遞推方程 $a_n - 5a_{n-1} + 6a_{n-2} = 0$ ,

因此有 $a_2 - 5a_1 + 6a_0 = 0$ , 進而可以得到 $a_2 - 5a_1 + 6a_0)x^2 = 0$

由此可以看出 , 如果三個式子全部相加 , 下圖右側(cè)藍色矩形框內(nèi) , 全部都是 $0$ ;

目前右側(cè)只剩下 $a_0 + a_1x -5a_0x$ 三項 ; 其中的 $a_0 = 1 , a_1 = -2$ 是初值 ;

最終等式右側(cè)是 : $1 ? 2 x ? 5 x = 1 ? 7 x$

將上述式子代入到 $1-5x+6x^2)G(x) =a_0 + (a_1 - 5a_0)x$ 中 , 使用 $1 ? 2 x ? 5 x = 1 ? 7 x$ 替換等式右側(cè)的式子 , 得到 :

$1-5x+6x^2)G(x) =1-7x$

$\cfrac{1-7x}{1-5x+6x^2}$

使用給定生成函數(shù) , 求對應的級數(shù) 的方法 , 將上述式子展開 , 參考【組合數(shù)學】生成函數(shù) ( 生成函數(shù)示例 | 給定通項公式求生成函數(shù) | 給定生成函數(shù)求通項公式 ) 二、給定生成函數(shù)求級數(shù) 方法 ,

先將分母進行因式分解 , 然后設(shè)置兩個待定系數(shù) , 通分后 , 根據(jù) $x$ 項系數(shù)寫出方程組 , 最終解該方程組 , 最終可以得到 :

$\cfrac{1-7x}{1-5x+6x^2} = \cfrac{5}{1-2x} - \cfrac{4}{1-3x}$

$51?2x\cfrac{5}{1-2x}$ 對應的級數(shù)是 : $∑n=0∞5(2x)n=5∑n=0∞2nxn\sum\limits_{n=0}^\infty 5 (2x)^n = 5\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n x^n$

$41?3x\cfrac{4}{1-3x}$ 對應的級數(shù)是 : $∑n=0∞(?4)(3x)n=?4∑n=0∞3nxn\sum\limits_{n=0}^\infty (-4) (3x)^n = -4\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n x^n$

最終生成函數(shù)的級數(shù)形式為 : $5\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n x^n - 4\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n x^n$

遞推方程的通解 : $an=5?2n?4?3na_n = 5 \cdot 2^n - 4 \cdot 3^n$

基本思路 : 有原來的遞推方程 , 導出關(guān)于生成函數(shù)的遞推方程 ;

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 )的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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