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【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )

發布時間：2025/6/17 23 豆豆

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文章目錄

一、使用生成函數求解多重集 r 組合數
二、使用生成函數求解多重集 r 組合數示例

參考博客 :

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一、使用生成函數求解多重集 r 組合數

$\{ n_1 \cdot a_1, n_2 \cdot a_2, \cdots, n_k \cdot a_k \}$ 是多重集 , 其含有 $k$ 個種類的元素 , $n1,n2,?,nkn_1, n_2, \cdots, n_k$ 是每種元素的重復度 ,

該多重集的 $r$ 組合數 , 是不定方程 $x1+x2+?+xk=rx_1 + x_2 + \cdots + x_k = r$ 的非負整數解 , 前提是 $xi≤nix_i \leq n_i$ , 每個元素所取的個數 $x_i$ , 不能超過其重復度 $n_i$ ;

相當于 $a_1$ 取 $x_1$ 個 , $a_2$ 取 $x_2$ 個 , $?\cdots$ , $a_k$ 取 $x_k$ 個 , 總共取 $r$ 個 ;

$n_i$ 是無窮個數時 , 多重集的 $r$ 組合數是 $C (k + r ? 1, r)$

回顧多重集排列組合 :

可重復的元素 , 有序的選取 , 對應 多重集的排列 ; $\cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}$ , 非全排列 $kr,r≤nik^r , \ \ r\leq n_i$
可重復的元素 , 無序的選取 , 對應 多重集的組合 ; $N = C (k + r ? 1, r)$

上述的多重集 $r$ 組合數 $C (k + r ? 1, r)$ 是在重復度不受限制的情況下的選取結果 , 如果重復度受限制 , 就需要使用生成函數進行計算 ;

如添加如下限制 : $a_1$ 最多能取 $3$ 個 , $a_2$ 最少取 $4$ 個 , 最多取 $10$ 個 ;

生成函數 :

$G (y) =$ $\cdots + y^{n_1})$ $\cdots + y^{n_2})$ $?\cdots$ $\cdots + y^{n_k})$

多重集中的每個元素的取值個數作為 $y$ 的次冪 , 如 $a_1$ 元素的取值個數是 $0$ 到 $n_1$ , 則該項對應的生成函數項是從 $y$ 的 $0$ 次冪 , 到 $y$ 的 $n_1$ 次冪相加 ; 構成項 $\cdots + y^{n_1})$ ;

將所有元素的上述生成函數項乘到一起 , 就構成上述生成函數 ;

按照多項式乘法 , 多重集中取 $r$ 個元素 ,

從第一個因式 $\cdots + y^{n_1})$ 拿出 $y^{x_1}$ ,

從第二個因式 $\cdots + y^{n_2})$ 拿出 $y^{x_2}$ ,

$?\vdots$

從第 $k$ 個因式 $\cdots + y^{n_k})$ 拿出 $y^{x_k}$ ,

如果上述乘積 $yx1yx2?yxky^{x_1}y^{x_2}\cdots y^{x_k}$ 的結果是 $y^{r}$ , 即 $yx1yx2?yxk=yry^{x_1}y^{x_2}\cdots y^{x_k} = y^{r}$ , 相當于指數 $x1+x2+?+xk=rx_1 + x_2 + \cdots + x_k = r$ , 也就是不定方程的非負整數解 ;

二、使用生成函數求解多重集 r 組合數示例

多重集 $\{3\cdot a , 4 \cdot b , 5 \cdot c \}$ , 求該多重集的 $10$ 組合數 ;

上述多重集元素的重復度 $3, 4, 5$ 都不超過 $10$ ;

對應 $a$ 元素 , 其重復度取值范圍是 $0$ ~ $3$ , 對應的生成函數項是 $y^0 +y^1 + y^2 + y^3$

對應 $b$ 元素 , 其重復度取值范圍是 $0$ ~ $4$ , 對應的生成函數項是 $y^0 +y^1 + y^2 + y^3 + y^4$

對應 $c$ 元素 , 其重復度取值范圍是 $0$ ~ $5$ , 對應的生成函數項是 $y^0 +y^1 + y^2 + y^3 + y^4 + y^5$

將上述項相乘 , 得到完整的生成函數 ;

$G(x) = (y^0 +y^1 + y^2 + y^3)(y^0 +y^1 + y^2 + y^3 + y^4)(y^0 +y^1 + y^2 + y^3 + y^4 + y^5)$

$1 +y^1 + y^2 + y^3)(1 +y^1 + y^2 + y^3 + y^4)(1 +y^1 + y^2 + y^3 + y^4 + y^5)$

$1 +2y^1 + 3y^2 + 4y^3 + 4y^4 + 3y^5 + 2y^6 + y^7 )(1 +y^1 + y^2 + y^3 + y^4 + y^5)$

統計上述兩項相乘 , $y$ 的次冪值為 $10$ 的項 :

第一個因式的 $3y^5$ 與第二個因式的 $y^5$ , 相乘為 $3y^{10}$

第一個因式的 $2y^6$ 與第二個因式的 $y^4$ , 相乘為 $2y^{10}$

第一個因式的 $y^7$ 與第二個因式的 $y^3$ , 相乘為 $y^{10}$

$y^{10}$ 項前的系數是 $3 + 2 + 1 = 6$

因此上述多重集的 $10$ 組合 ,選擇方案有 $6$ 種 ;

總結

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【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )

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一、使用生成函數求解多重集 r 組合數

二、使用生成函數求解多重集 r 組合數 示例

總結

二、使用生成函數求解多重集 r 組合數示例