當(dāng)前位置：首頁(yè) > 编程资源 > 编程问答 >内容正文

编程问答

【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )

發(fā)布時(shí)間：2025/6/17 编程问答 25 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 ) 小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

文章目錄

一、使用生成函數(shù)求解不定方程解個(gè)數(shù)
- 1、帶限制條件
- 2、帶系數(shù)

參考博客 :

【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) 簡(jiǎn)要介紹 ( 生成函數(shù)定義 | 牛頓二項(xiàng)式系數(shù) | 常用的生成函數(shù) | 與常數(shù)相關(guān) | 與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān) | 與多項(xiàng)式系數(shù)相關(guān) )
【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 線性性質(zhì) | 乘積性質(zhì) )
【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 移位性質(zhì) )
【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 求和性質(zhì) )
【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 換元性質(zhì) | 求導(dǎo)性質(zhì) | 積分性質(zhì) )
【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 性質(zhì)總結(jié) | 重要的生成函數(shù) ) ★
【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 生成函數(shù)示例 | 給定通項(xiàng)公式求生成函數(shù) | 給定生成函數(shù)求通項(xiàng)公式 )
【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 生成函數(shù)應(yīng)用場(chǎng)景 | 使用生成函數(shù)求解遞推方程 )
【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 使用生成函數(shù)求解多重集 r 組合數(shù) )

一、使用生成函數(shù)求解不定方程解個(gè)數(shù)

不定方程的解個(gè)數(shù) :

$x1+x2+?+xk=rx_1 + x_2 + \cdots + x_k = r$

$x_i$ 為自然數(shù) ;

之前通過(guò)組合對(duì)應(yīng)的方法 , 已經(jīng)解決 , 其解個(gè)數(shù)是 $C (k + r ? 1, r)$

不定方程解的個(gè)數(shù) , 推導(dǎo)過(guò)程參考 : 【組合數(shù)學(xué)】排列組合 ( 多重集組合數(shù) | 所有元素重復(fù)度大于組合數(shù) | 多重集組合數(shù) 推導(dǎo) 1 分割線推導(dǎo) | 多重集組合數(shù) 推導(dǎo) 2 不定方程非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)推導(dǎo) ) 二、多重集組合所有元素重復(fù)度大于組合數(shù) 推導(dǎo) 2 ( 不定方程非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)推導(dǎo) )

上述情況下 , $x_i$ 的取值都是沒(méi)有上限的 , 如果 $x_i$ 取值受限 , 如 $x_1$ 取值必須滿足 $\leq x_1 \leq 5$ 條件時(shí) , 就不能使用上述公式進(jìn)行計(jì)算 , 這里需要使用到生成函數(shù)求解 ;

1、帶限制條件

$x1+x2+?+xk=rx_1 + x_2 + \cdots + x_k = r$

如果 $x_i$ 取值受到約束 , $li≤xi≤nil_i \leq x_i \leq n_i$ , 則對(duì)應(yīng)的生成函數(shù)項(xiàng)的 $y$ 次冪值從 $l_i$ 到 $n_i$ ;

對(duì)應(yīng)的生成函數(shù)項(xiàng)是 $yli+yli+1+?+yniy^{l_i} + y^{l_i + 1} + \cdots + y^{n_i}$

完整的生成函數(shù)是 :

$y^{l_1} + y^{l_1+1} + \cdots + y^{n_1} )( y^{l_2} + y^{l_2+1} + \cdots + y^{n_2} ) \cdots ( y^{l_k} + y^{l_k+1} + \cdots + y^{n_k} )$

將上述生成函數(shù)結(jié)果乘出來(lái) , $y^r$ 前的系數(shù) , 就是不定方程的解的個(gè)數(shù) ;

2、帶系數(shù)

$p1x1+p2x2+?+pkxk=rp_1x_1 + p_2x_2 + \cdots + p_kx_k = r$

$xi∈Nx_i \in N$ , 非負(fù)整數(shù)解 , 對(duì) $x_i$ 不設(shè)置上限 ;

帶系數(shù)的函數(shù)非負(fù)整數(shù)解 , 生成函數(shù)的項(xiàng)的基本的底是 $y^{p_i}$ , 冪的取值范圍是 $\cdots$ ,

每個(gè)生成函數(shù)項(xiàng)是 $(ypi)0+(ypi)1+(ypi)2+(ypi)3+?(y^{p_i})^0 + (y^{p_i})^1 + (y^{p_i})^2 + (y^{p_i})^3 + \cdots$ ,

化簡(jiǎn)后的項(xiàng)是 $+y^{p_i} + y^{2p_i} + y^{3p_i} + \cdots$

將所有的 $k$ 項(xiàng)相乘 , 就是對(duì)應(yīng)的生成函數(shù) :

$G(y)=(1+yp1+y2p1+y3p1+?)(1+yp2+y2p2+y3p2+?)?(1+ypk+y2pk+y3pk+?)G(y)=(1+y^{p_1} + y^{2p_1} + y^{3p_1 + \cdots})(1+y^{p_2} + y^{2p_2} + y^{3p_2 + \cdots}) \cdots (1+y^{p_k} + y^{2p_k} + y^{3p_k + \cdots})$

該方程的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)是 $y^r$ 前的系數(shù) ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。

上一篇：【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求
下一篇：【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求