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• 一、使用生成函數(shù)求解不定方程解個(gè)數(shù)
• • 1、帶限制條件
  • 2、帶系數(shù)

參考博客 :

• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) 簡(jiǎn)要介紹 ( 生成函數(shù)定義 | 牛頓二項(xiàng)式系數(shù) | 常用的生成函數(shù) | 與常數(shù)相關(guān) | 與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān) | 與多項(xiàng)式系數(shù)相關(guān) )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 線性性質(zhì) | 乘積性質(zhì) )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 移位性質(zhì) )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 求和性質(zhì) )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 換元性質(zhì) | 求導(dǎo)性質(zhì) | 積分性質(zhì) )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 性質(zhì)總結(jié) | 重要的生成函數(shù) ) ★
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 生成函數(shù)示例 | 給定通項(xiàng)公式求生成函數(shù) | 給定生成函數(shù)求通項(xiàng)公式 )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 生成函數(shù)應(yīng)用場(chǎng)景 | 使用生成函數(shù)求解遞推方程 )
• 【組合數(shù)學(xué)】生成函數(shù) ( 使用生成函數(shù)求解多重集 r 組合數(shù) )

一、使用生成函數(shù)求解不定方程解個(gè)數(shù)

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不定方程的解個(gè)數(shù) :

$x_1+x_2+?+x_k=r$

$x_i$ 為自然數(shù) ;

之前通過(guò)組合對(duì)應(yīng)的方法 , 已經(jīng)解決 , 其解個(gè)數(shù)是 $C(k+r?1,r)$

不定方程解的個(gè)數(shù) , 推導(dǎo)過(guò)程參考 : 【組合數(shù)學(xué)】排列組合 ( 多重集組合數(shù) | 所有元素重復(fù)度大于組合數(shù) | 多重集組合數(shù) 推導(dǎo) 1 分割線推導(dǎo) | 多重集組合數(shù) 推導(dǎo) 2 不定方程非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)推導(dǎo) ) 二、多重集組合 所有元素重復(fù)度大于組合數(shù) 推導(dǎo) 2 ( 不定方程非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)推導(dǎo) )

上述情況下 , $x_i$ 的取值都是沒(méi)有上限的 , 如果 $x_i$ 取值受限 , 如 $x_1$ 取值必須滿足 $2\le x_1\le 5$ 條件時(shí) , 就不能使用上述公式進(jìn)行計(jì)算 , 這里需要 使用到生成函數(shù)求解 ;

1、帶限制條件

$x_1+x_2+?+x_k=r$

如果 $x_i$ 取值受到約束 , $l_i\le x_i\le n_i$ , 則對(duì)應(yīng)的 生成函數(shù)項(xiàng)的 $y$ 次冪值從 $l_i$ 到 $n_i$ ;

對(duì)應(yīng)的生成函數(shù)項(xiàng)是 $y^{l_i}+y^{l_i+1}+?+y^{n_i}$

完整的生成函數(shù)是 :

$G(y)=(y^{l_1}+y^{l_1+1}+?+y^{n_1})(y^{l_2}+y^{l_2+1}+?+y^{n_2})?(y^{l_k}+y^{l_k+1}+?+y^{n_k})$

將上述生成函數(shù)結(jié)果乘出來(lái) , $y^r$ 前的系數(shù) , 就是不定方程 的解的個(gè)數(shù) ;

2、帶系數(shù)

$p_1{x}_1+p_2{x}_2+?+p_k{x}_k=r$

$x_i\in N$ , 非負(fù)整數(shù)解 , 對(duì) $x_i$ 不設(shè)置上限 ;

帶系數(shù)的函數(shù)非負(fù)整數(shù)解 , 生成函數(shù)的項(xiàng)的基本的 底是 $y^{p_i}$ , 冪的取值范圍是 $0,1,2,?$ ,

每個(gè)生成函數(shù)項(xiàng)是 $(y^{p_i}{)}^0+(y^{p_i}{)}^1+(y^{p_i}{)}^2+(y^{p_i}{)}^3+?$ ,

化簡(jiǎn)后的項(xiàng)是 $1+y^{p_i}+y^{2p_i}+y^{3p_i}+?$

將所有的 $k$ 項(xiàng)相乘 , 就是對(duì)應(yīng)的生成函數(shù) :

$G(y)=(1+y^{p_1}+y^{2p_1}+y^{3p_1+?})(1+y^{p_2}+y^{2p_2}+y^{3p_2+?})?(1+y^{p_k}+y^{2p_k}+y^{3p_k+?})$

該方程的非負(fù)整數(shù)解個(gè)數(shù)是 $y^r$ 前的系數(shù) ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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