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• 一、使用生成函數求解不定方程解個數示例

參考博客 :

• 【組合數學】生成函數 簡要介紹 ( 生成函數定義 | 牛頓二項式系數 | 常用的生成函數 | 與常數相關 | 與二項式系數相關 | 與多項式系數相關 )
• 【組合數學】生成函數 ( 線性性質 | 乘積性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 移位性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 求和性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 換元性質 | 求導性質 | 積分性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 性質總結 | 重要的生成函數 ) ★
• 【組合數學】生成函數 ( 生成函數示例 | 給定通項公式求生成函數 | 給定生成函數求通項公式 )
• 【組合數學】生成函數 ( 生成函數應用場景 | 使用生成函數求解遞推方程 )
• 【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解多重集 r 組合數 )
• 【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解不定方程解個數 )
• 【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解不定方程解個數示例 )

一、使用生成函數求解不定方程解個數示例

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$1$ 克砝碼 $2$ 個 ,
$2$ 克砝碼 $1$ 個 ,
$4$ 克砝碼 $2$ 個 ,
可以稱出哪些重量 , 有多少方案個數 ;

砝碼可以放在左右兩側

將生成函數的概念 , 推廣到可以放負數次冪 , 放在左邊是正數 , 不放是 $0$ , 放在右邊是負數 ,

$1$ 克的砝碼 個數是 $x_1$ 個 , 取值范圍是 $?2\le x_1\le 2$ , 可取值 $?2,?1,0,1,2$

$2$ 克的砝碼個數是 $x_2$ 個 , 取值范圍是 $?1\le x_2\le 1$ , 可取值 $?1,0,1$

$4$ 克的砝碼個數是 $x_3$ 個 , 取值范圍是 $?2\le x_3\le 2$ , 可取值 $?2,?1,0,1,2$

$x_1+2x_2+4x_3=r$ , 其中 $r$ 代表可以稱出的重量 ,

寫出上述 , 帶限制條件 , 并且帶系數 的不定方程非負整數解的 生成函數 :

$x_1$ 項 , 帶限制條件 , 沒有系數 , 其 底是 $y$ , 冪取值 $0,1,2$ , 對應的生成函數項是 $(y^{?2}+y^{?1}+1+y+y^2)$

$x_2$ 項 , 帶限制條件 , 帶系數 $2$ , 其 底是 $y^2$ , 冪取值 $0,1$ , 對應生成函數項是 $(y^2{)}^{?1}+(y^2{)}^0+(y^2{)}^1=y^{?2}+1+y^2$

$x_3$ 項 , 帶限制條件 , 帶系數 $4$ , 其 底是 $y^4$ , 冪取值 $0,1,2$ , 對應生成函數項是 $(y^4{)}^{?2}+(y^4{)}^{?1}+(y^4{)}^0+(y^4{)}^1+(y^4{)}^2=y^{?8}+y^{?4}+1+y^4+y^8$

將上述三項乘起來 , 并展開 :

$G(x)=(y^{?2}+y^{?1}+1+y+y^2)(y^{?2}+1+y^2)(y^{?8}+y^{?4}+1+y^4+y^8)$

$=5+3y+4y^2+3y^3+5y^4+3y^5+4y^6+3y^7+4y^8+2y^9+2y^{10}+y^{11}+y^{12}$

上述展開后的 $y$ 的次冪數是重量 , 系數是 方案個數 , 如 $4y^2$ 項表示 , 稱出 $2$ 克重量 , 有 $4$ 個方案 ;

總體描述 :

• $1$ 項 : 表示 $y^0$ , 稱出 $0$ 克 , 有 $0$ 種方案 ;
• $3y$ 項 : 表示 $3y^1$ , 稱出 $1$ 克 , 有 $3$ 種方案 ;
• $4y^2$ 項 : 表示 $4y^2$ , 稱出 $2$ 克 , 有 $4$ 種方案 ;
• $3y^3$ 項 : 表示 $3y^3$ , 稱出 $3$ 克 , 有 $3$ 種方案 ;
• $5y^4$ 項 : 表示 $5y^4$ , 稱出 $4$ 克 , 有 $5$ 種方案 ;
• $3y^5$ 項 : 表示 $3y^5$ , 稱出 $5$ 克 , 有 $3$ 種方案 ;
• $4y^6$ 項 : 表示 $4y^6$ , 稱出 $6$ 克 , 有 $4$ 種方案 ;
• $3y^7$ 項 : 表示 $3y^7$ , 稱出 $7$ 克 , 有 $3$ 種方案 ;
• $4y^8$ 項 : 表示 $4y^8$ , 稱出 $8$ 克 , 有 $4$ 種方案 ;
• $2y^9$ 項 : 表示 $2y^9$ , 稱出 $9$ 克 , 有 $2$ 種方案 ;
• $2y^{10}$ 項 : 表示 $2y^{10}$ , 稱出 $10$ 克 , 有 $2$ 種方案 ;
• $y^{11}$ 項 : 表示 $y^{11}$ , 稱出 $11$ 克 , 有 $1$ 種方案 ;
• $y^{12}$ 項 : 表示 $y^{12}$ , 稱出 $12$ 克 , 有 $1$ 種方案 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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