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编程问答

【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复 | 不允许重复 | 无序不重复拆分 | 无序重复拆分 )

發布時間：2025/6/17 编程问答 30 豆豆

文章目錄

一、正整數拆分
二、無序拆分
- 1、無序拆分不允許重復
- 2、無序拆分允許重復

參考博客 :

【組合數學】生成函數簡要介紹 ( 生成函數定義 | 牛頓二項式系數 | 常用的生成函數 | 與常數相關 | 與二項式系數相關 | 與多項式系數相關 )
【組合數學】生成函數 ( 線性性質 | 乘積性質 )
【組合數學】生成函數 ( 移位性質 )
【組合數學】生成函數 ( 求和性質 )
【組合數學】生成函數 ( 換元性質 | 求導性質 | 積分性質 )
【組合數學】生成函數 ( 性質總結 | 重要的生成函數 ) ★
【組合數學】生成函數 ( 生成函數示例 | 給定通項公式求生成函數 | 給定生成函數求通項公式 )
【組合數學】生成函數 ( 生成函數應用場景 | 使用生成函數求解遞推方程 )
【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解多重集 r 組合數 )
【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解不定方程解個數 )
【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解不定方程解個數示例 )
【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解不定方程解個數示例 2 | 擴展到整數解 )

一、正整數拆分

正整數拆分涉及內容 :

拆分定義與分類
無序拆分
有序拆分

一個正整數可以拆分成若干正整數的和 , 每種不同的拆分方法 , 就可以看做一個方案 ;

按照拆分順序進行分類 : $4$ 拆分成 $1$ 和 $3$ , $4$ 拆分成 $3$ 和 $1$ ;

有序拆分 : 上述 $2$ 個正整數拆分 , 是兩種不同的拆分方法 ;
無序拆分 : 上述 $2$ 個正整數拆分 , 是同一種拆分方法 ;

按照是否重復進行分類 :

允許重復 : 拆分時 , 允許拆分成若干個重復的正整數 , 如 $3$ 拆分成 $3$ 個 $1$ ;
不允許重復 : 拆分時 , 拆分的正整數不允許重復 , 如 $3$ 拆分成 $3$ 個 $1$ 是錯誤的 , 只能拆分成 $1, 2$ ;

正整數拆分可以按照性質 , 分為 $4$ 類 ;

有序重復
有序不重復
無序重復
無序不重復

二、無序拆分

無序拆分基本模型 :

將正整數 $N$ 無序拆分成正整數 , $a1,a2,?,ana_1, a_2, \cdots , a_n$ 是拆分后的 $n$ 個數 ,

該拆分是無序的 , 上述拆分的 $n$ 個數的個數可能是不一樣的 ,

假設 $a_1$ 有 $x_1$ 個 , $a_2$ 有 $x_2$ 個 , $?\cdots$ , $a_n$ 有 $x_n$ 個 , 那么有如下方程 :

$a1x1+a2x2+?+anxn=Na_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = N$

這種形式可以使用不定方程非負整數解個數的生成函數計算 , 是帶系數 , 帶限制條件的情況 , 參考 : 組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解不定方程解個數 )

無序拆分的情況下 , 拆分后的正整數 , 允許重復和不允許重復 , 是兩類組合問題 ;

如果不允許重復 , 那么這些 $x_i$ 的取值 , 只能取值 $0, 1$ ; 相當于帶限制條件 , 帶系數的不定方程非負整數解的情況 ;

如果允許重復 , 那么這些 $x_i$ 的取值 , 就是自然數 ; 相當于帶系數的不定方程非負整數解的情況 ;

1、無序拆分不允許重復

討論無序拆分 , 不允許重復的情況 , 該方式等價于帶限制條件 , 帶系數的不定方程非負整數解的情況 ;

$a_1$ 項對應的生成函數項 , $x_1$ 取值 $0, 1$ , 則對應的生成函數項是 $y^{a_1})^{0} + (y^{a_1})^{1}= 1+ y^{a_1}$

$a_2$ 項對應的生成函數項 , $x_2$ 取值 $0, 1$ , 則對應的生成函數項是 $y^{a_2})^{0} + (y^{a_2})^{1}= 1+ y^{a_2}$

$?\vdots$

$a_n$ 項對應的生成函數項 , $x_n$ 取值 $0, 1$ , 則對應的生成函數項是 $y^{a_n})^{0} + (y^{a_n})^{1}= 1+ y^{a_n}$

將上述生成函數項相乘 , 則可得到完整生成函數 :

$y^{a_1}) (1+ y^{a_2}) \cdots (1+ y^{a_n})$

將上述生成函數寫好之后 , 計算展開 , $y$ 的 $N$ 次冪的系數 , 就是正整數 $N$ 的拆分方案數 ;

2、無序拆分允許重復

討論無序拆分 , 允許重復的情況 , 該方式等價于不帶限制條件 , 帶系數的不定方程非負整數解的情況 ;

$a_1$ 項對應的生成函數項 , $x_1$ 取值 $\cdots$ , 則對應的生成函數項是 $(ya1)0+(ya1)1+(ya1)2=1+ya1+y2a1?(y^{a_1})^{0} + (y^{a_1})^{1} + (y^{a_1})^{2}= 1+ y^{a_1} + y^{2a_1}\cdots$

$a_2$ 項對應的生成函數項 , $x_2$ 取值 $\cdots$ , 則對應的生成函數項是 $(ya2)0+(ya2)1+(ya2)2=1+ya2+y2a2?(y^{a_2})^{0} + (y^{a_2})^{1} + (y^{a_2})^{2}= 1+ y^{a_2} + y^{2a_2}\cdots$

$?\vdots$

$a_n$ 項對應的生成函數項 , $x_n$ 取值 $\cdots$ , 則對應的生成函數項是 $(yan)0+(yan)1+(yan)2=1+yan+y2an?(y^{a_n})^{0} + (y^{a_n})^{1} + (y^{a_n})^{2}= 1+ y^{a_n} + y^{2a_n}\cdots$

將上述生成函數項相乘 , 則可得到完整生成函數 :

$y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots) (1+ y^{a_2} + y^{2a_2}\cdots) \cdots (1+ y^{a_n}+ y^{2a_n}\cdots )$

上述生成函數可以根據如下生成函數的常用取值 :

${a_n\}$ , $a_n = 1^n$ ; $A(x)=∑n=0∞xn=11?x\begin{aligned} A(x) & = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \end{aligned}$

將 $y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots$ 中的 $y^{a_1}$ 換元成 $x$ , 則可得到

$x^2 + x^3 + \cdots$

對應的數列是 $1^n$

則上述 $y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots =\cfrac{1}{1-y^{a_1}}$

最終化簡結果 :

$y^{a_1}+ y^{2a_1}\cdots) (1+ y^{a_2} + y^{2a_2}\cdots) \cdots (1+ y^{a_n}+ y^{2a_n}\cdots )$

$=1(1?ya1)(1?ya2)?(1?yan)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\cfrac{1}{ (1-y^{a_1}) (1-y^{a_2}) \cdots (1-y^{a_n}) }$

將上述生成函數寫好之后 , 計算展開 , $y$ 的 $N$ 次冪的系數 , 就是正整數 $N$ 的拆分方案數 ;

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總結

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