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编程问答

【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )

發布時間：2025/6/17 编程问答 24 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 ) 小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

參考博客 :

正整數拆分 , 需要先給出拆分后出的數 ,

每個被拆分出的數 , 都可以有一個對應的生成函數分項 ,

每個生成函數的項的 $y$ 次冪項個數 , 與該被拆分的數的取值個數種類一樣 ,

如 : 某個被拆分出來的數 $a_1$ , 其可以取值 $0, 1, 2$ 三個值 , 那么對應的生成函數的項的 $y$ 次冪項個數有 $3$ 個值 , 為 $y^{a_1})^0 + (y^{a_1})^1 + (y^{a_1})^2$ ,

該生成函數項中的底是 $y^{被拆分的數}$ , 次冪數就是該正整數可能的取值 , 項中的 $y$ 次冪分項個數就是該正整數取值的種類個數 ;

正整數拆分 , 允許重復與不允許重復 , 區別是被拆分的整數的出現次數不同 ,

正整數拆分生成函數 :

生成函數項個數 : 就是拆分后的正整數種類數 ; 可拆分成 $2, 4, 8$ 三個數 , 那么是三個生成函數項相乘 ;
生成函數項中的 $y$ 次冪個數 : 對應拆分后的正整數取值種類個數 ; 某個拆分后的整數可能出現 $0, 1$ 次 , 代表取值種類數是 $2$ ;
生成函數項中的 $y$ 次冪底 : $y^{拆分后的正整數}$ , 某個拆分后正整數是 $5$ , 那么底就是 $y^5$ ;
生成函數項中的 $y$ 次冪 : 拆分后的正整數的取值個數 ; 某個拆分后正整數是 $5$ , 那么底就是 $y^5$ , 出現一次 , 對應的項是 $y^5)^1$

證明任何正整數二進制表示是唯一的 ;

上述問題可以等價為 , 將任意正整數 , 都可以拆解成 $2$ 的次冪之和 , 并且不允許有重復的元素 ;

$2$ 的次冪情況 : $20,21,22,23,?2^0, 2^1, 2^2, 2^3 , \cdots$

由于不允許有重復 , 因此每個 $2$ 次冪的個數 , 只能是 $0, 1$ 兩種情況 ;

按照正整數拆分的模型 , 寫出一個生成函數 :

$2^0$ 對應的生成函數項 : 底是 $y^{2^0} = y$ , 取值 $0, 1$ , 則對應的生成函數項是 $y^0 + y^1 = 1+ y$

$2^1$ 對應的生成函數項 : 底是 $y^{2^1} = y^2$ , 取值 $0, 1$ , 則對應的生成函數項是 $y^2)^0 + (y^2)^1 = 1+ y^2$

$2^2$ 對應的生成函數項 : 底是 $y^{2^2} = y^4$ , 取值 $0, 1$ , 則對應的生成函數項是 $y^4)^0 + (y^4)^1 = 1+ y^4$

$2^3$ 對應的生成函數項 : 底是 $y^{2^3} = y^8$ , 取值 $0, 1$ , 則對應的生成函數項是 $y^8)^0 + (y^8)^1 = 1+ y^8$

$?\vdots$

完整的生成函數是 :

$y^2)(1+ y^4)(1+ y^8)\cdots$

分解上述每個生成函數項 :

$\cfrac{1-y^2}{1-y}$

$y^2= \cfrac{1-y^4}{1-y^2}$

$y^4= \cfrac{1-y^8}{1-y^4}$

將上面三個等式代入生成函數 $G (x)$ 中 ,

$\cfrac{1-y^2}{1-y} \cdot \cfrac{1-y^4}{1-y^2} \cdot \cfrac{1-y^8}{1-y^4} \cdots$

$=11?y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \cfrac{1}{1-y}$

$=1+y+y2+y3+?\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = 1 + y + y^2 + y^3 + \cdots$

上述生成函數是 $1^n$ 通項公式對應的數列的生成函數 ;

上述生成函數展開后 , 每項前的系數都為 $1$ , 說明只有一種方案 ;

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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