文章目錄

• 一、指數生成函數性質
• 二、指數生成函數求解多重集排列

參考博客 : 按照順序看

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• 【組合數學】生成函數 ( 線性性質 | 乘積性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 移位性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 求和性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 換元性質 | 求導性質 | 積分性質 )
• 【組合數學】生成函數 ( 性質總結 | 重要的生成函數 ) ★
• 【組合數學】生成函數 ( 生成函數示例 | 給定通項公式求生成函數 | 給定生成函數求通項公式 )
• 【組合數學】生成函數 ( 生成函數應用場景 | 使用生成函數求解遞推方程 )
• 【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解多重集 r 組合數 )
• 【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解不定方程解個數 )
• 【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解不定方程解個數示例 )
• 【組合數學】生成函數 ( 使用生成函數求解不定方程解個數示例 2 | 擴展到整數解 )
• 【組合數學】生成函數 ( 正整數拆分 | 無序 | 有序 | 允許重復 | 不允許重復 | 無序不重復拆分 | 無序重復拆分 )
• 【組合數學】生成函數 ( 正整數拆分 | 無序不重復拆分示例 )
• 【組合數學】生成函數 ( 正整數拆分 | 正整數拆分基本模型 | 有限制條件的無序拆分 )
• 【組合數學】生成函數 ( 正整數拆分 | 重復有序拆分 | 不重復有序拆分 | 重復有序拆分方案數證明 )
• 【組合數學】指數生成函數 ( 指數生成函數概念 | 排列數指數生成函數 = 組合數普通生成函數 | 指數生成函數示例 )

一、指數生成函數性質

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兩個數列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 對應的指數生成函數分別是 $A_e(x),B_e(x)$ ,

將上述兩個 指數生成函數 相乘 , 看做一個函數 , 可以展開成另外一個數列的級數形式 ,

$A_e(x)?B_e(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\frac{x^n}{n!}$

其中 , $c_n=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a_k{b}_{n?k}$

( 代入即可求出該結果 )

二、指數生成函數求解多重集排列

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多重集 $S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\}$

多重集 $S$ 的 $r$ 排列數 組成數列 $\{a_r\}$ , 對應的指數生成函數是 :

$G_e(x)=f_{n_1}(x)f_{n_2}(x)?f_{n_k}(x)$ ★

其中每個生成函數項 $f_{n_i}(x)$ 是

$f_{n_i}(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+?+\frac{x^{n_i}}{n_i!}$ ★

將 $G_e(x)$ 展開 , 其中的 $\frac{x^r}{r!}$ 的系數就是多重集的排列數 , 特別注意如果不是 $\frac{x^r}{r!}$ 形式 , 需要強制轉化成上述性質 , 一定要除以 $r!$ ; ★★★★★

選取問題參考 :

$n$ 元集 $S$ , 從 $S$ 集合中選取 $r$ 個元素 ;

根據 元素是否允許重復 , 選取過程是否有序 , 將選取問題分為四個子類型 :

元素不重復元素可以重復

有序選取	集合排列 $P(n,r)$	多重集排列
無序選取	集合組合 $C(n,r)$	多重集組合

選取問題中 :

• 不可重復的元素 , 有序的選取 , 對應 集合的排列 ; $P(n,r)=\frac{n!}{(n?r)!}$
• 不可重復的元素 , 無序的選取 , 對應 集合的組合 ; $C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n?r)!}$
• 可重復的元素 , 有序的選取 , 對應 多重集的排列 ; $全排列=\frac{n!}{n_1!n_2!?n_k!}$ , 非全排列 $k^r,r\le n_i$
• 可重復的元素 , 無序的選取 , 對應 多重集的組合 ; $N=C(k+r?1,r)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数性质 | 指数生成函数求解多重集排列 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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