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• 一、證明指數生成函數求解多重集排列

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一、證明指數生成函數求解多重集排列

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多重集 $S=\{n_1?a_1,n_2?a_2,?,n_k?a_k\}$

多重集 $S$ 的 $r$ 排列數 組成數列 $\{a_r\}$ , 對應的指數生成函數是 :

$G_e(x)=f_{n_1}(x)f_{n_2}(x)?f_{n_k}(x)$ ★

其中每個生成函數項 $f_{n_i}(x)$ 是

$f_{n_i}(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+?+\frac{x^{n_i}}{n_i!}$ ★

將 $G_e(x)$ 展開 , 其中的 $r$ 系數就是多重集的排列數 ; ★

證明上述指數生成函數用途 :

將上述 指數生成函數 展開 ,

指數生成函數項 $G_e(x)=f_{n_1}(x)f_{n_2}(x)?f_{n_k}(x)$ , 由 $k$ 個因式相乘得到 ,

每個因式都會提供一個 $\frac{x^{m_1}}{m_1!}$ 成分 ,

$\frac{x^{m_1}}{m_1!}$ 來自第一個因式 ,

$\frac{x^{m_2}}{m_2!}$ 來自第二個因式 ,

$?$

$\frac{x^{m_k}}{m_k!}$ 來自第 $k$ 個因式 ,

上述因式相乘 $\frac{x^{m_1}}{m_1!}?\frac{x^{m_2}}{m_2!}?\frac{x^{m_k}}{m_k!}$

其中 $m_1+m_2+?+m_r=r,$

$0\le m_i\le n_i,$ $i=0,1,2,?,k$

$\frac{x^{m_1}}{m_1!}?\frac{x^{m_2}}{m_2!}?\frac{x^{m_k}}{m_k!}$ 對應了指數生成函數展開后的分項 ;

$\frac{x^{m_1}}{m_1!}?\frac{x^{m_2}}{m_2!}?\frac{x^{m_k}}{m_k!}$

$=\frac{x^{m_1+m_2+?+m_k}}{m_1!m_2!?m_k!}$

$=\frac{x^r}{m_1!m_2!?m_k!}?\frac{r!}{r!}$

$=\frac{x^r}{r!}?\frac{r!}{m_1!m_2!?m_k!}$

$\frac{r!}{m_1!m_2!?m_k!}$ 是多重集 $r$ 個元素的全排列數

選了 $r$ 個元素 , 選擇的方法數是 $m_1+m_2+?+m_r=r$ 非負整數解個數 , 配置完成后 , 再 進行全排列 , 就可以得到 $r$ 排列 ;

( 先選擇 , 再進行全排列 )

$a_r=\sum \frac{r!}{m_1!m_2!?m_k!}$

上述求和 , 每個分項都是滿足 $m_1+m_2+?+m_r=r$ 方程的非負整數解 , 每個非負整數解都對應了多重集的 $S$ 的 $r$ 組合 ;

組合的全排列數是 $\frac{r!}{m_1!m_2!?m_k!}$ ,

上述求和 $a_r=\sum \frac{r!}{m_1!m_2!?m_k!}$ 是 針對所有滿足方程的一切非負整數解進行求和 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【组合数学】指数生成函数 ( 证明指数生成函数求解多重集排列 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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