文章目錄

• 一、計(jì)算模型與語(yǔ)言
• 二、區(qū)分 可計(jì)算語(yǔ)言 與 可判定語(yǔ)言
• 三、證明 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 語(yǔ)言 可計(jì)算
• 四、通用 ( Universal ) 任務(wù)圖靈機(jī) 與 特殊任務(wù)圖靈機(jī)

一、計(jì)算模型與語(yǔ)言

---

計(jì)算模型是逐步進(jìn)行擴(kuò)張的 :

自動(dòng)機(jī) $\to$ 下推自動(dòng)機(jī) ( $1$ 個(gè)棧 ) $\to$下推自動(dòng)機(jī) ( $2$ 個(gè)棧 ) $?$ 圖靈機(jī)

所對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言也是逐步進(jìn)行擴(kuò)張的 :

正則語(yǔ)言 $\to$ 上下文無(wú)關(guān)語(yǔ)言 $\to$ 可計(jì)算語(yǔ)言

正則語(yǔ)言 對(duì)應(yīng)的 計(jì)算模型 是 確定性有限自動(dòng)機(jī) ,

上下文無(wú)關(guān)語(yǔ)言 對(duì)應(yīng)的 計(jì)算模型 是 下推自動(dòng)機(jī) ,

可計(jì)算語(yǔ)言 對(duì)應(yīng)的 計(jì)算模型 是 圖靈機(jī) ,

可判定語(yǔ)言 對(duì)應(yīng)的 計(jì)算模型 是 判定機(jī) ,

判定機(jī) 是一種 特殊的 圖靈機(jī) , 是圖靈機(jī)的子集 ;

可判定語(yǔ)言 是 可計(jì)算語(yǔ)言 的子集 ;

圖靈機(jī) 的 可計(jì)算語(yǔ)言 , 是計(jì)算機(jī)科學(xué)的研究領(lǐng)域 ;

二、區(qū)分 可計(jì)算語(yǔ)言 與 可判定語(yǔ)言

---

找一個(gè)特例語(yǔ)言 , 區(qū)分 可計(jì)算語(yǔ)言 與 可判定語(yǔ)言 ;

圖靈機(jī)的可接受問(wèn)題 :

將計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行形式化 , $\mathrm{M}$ 是圖靈機(jī) , $\mathrm{w}$ 是字符串 , 如果 $\mathrm{M}$ 圖靈機(jī) 接受 $\mathrm{w}$ 是字符串 , 將所有的可接受的 $\mathrm{w}$ 是字符串放在一個(gè)集合中 , 組成的語(yǔ)言 稱為 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 語(yǔ)言 ;

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}=\{<\mathrm{M},\mathrm{w}>|圖靈機(jī)\mathrm{M}接受\mathrm{w}字符串\}$

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 語(yǔ)言 稱為 圖靈機(jī)可接受的 ;

${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 語(yǔ)言 是可計(jì)算的 , 但 不是可判定的 ;

該結(jié)論可以區(qū)分 可判定語(yǔ)言 與 可計(jì)算語(yǔ)言 ;

三、證明 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 語(yǔ)言 可計(jì)算

---

證明 : ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 語(yǔ)言 是可計(jì)算的 , 但 不是可判定的 ;

證明過(guò)程 : 構(gòu)造圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ ,

① 字符串 : 給定一個(gè)輸入字符串 , $<\mathrm{M},\mathrm{w}>$ , 即 在 圖靈機(jī) $\mathrm{M}$ 上接受的字符串 $\mathrm{w}$ ;

② 模仿 : 字符串輸入到 圖靈機(jī) $\mathrm{M}$ 之后 , 將自己想象成 $\mathrm{U}$ , 模仿 圖靈機(jī) $\mathrm{M}$ 在 字符串 $\mathrm{w}$ 上進(jìn)行計(jì)算 ;

③ 接受 / 拒絕 狀態(tài) : 如果 圖靈機(jī) $\mathrm{M}$ 進(jìn)入接受狀態(tài) , 則 圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ 也進(jìn)入接受狀態(tài) , 如果圖靈機(jī) $\mathrm{M}$ 進(jìn)入拒絕狀態(tài) , 則 圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ 也進(jìn)入拒絕狀態(tài) ;

④ Loop 循環(huán)狀態(tài) : 圖靈機(jī) $\mathrm{M}$ 在 $\mathrm{w}$ 字符串上計(jì)算時(shí) , 可能有第 $3$ 種可能性 , 即進(jìn)入 Loop 循環(huán)狀態(tài) , 永不停機(jī) ; 此時(shí) 圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ 也只能進(jìn)入 Loop 狀態(tài) ;

現(xiàn)在 圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ 模仿的是 圖靈機(jī) $\mathrm{M}$ 在 字符串 $\mathrm{w}$ 上的計(jì)算 , 圖靈機(jī) $\mathrm{M}$ 進(jìn)入什么狀態(tài) , 圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ 就進(jìn)入什么狀態(tài) ;

$\mathrm{U}$ 很顯然是 圖靈機(jī) , 因此 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 語(yǔ)言 對(duì)應(yīng)的計(jì)算問(wèn)題是可計(jì)算的 ;

證明 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 語(yǔ)言 不可判定 , 在下一篇博客中證明 ;

四、通用 ( Universal ) 任務(wù)圖靈機(jī) 與 特殊任務(wù)圖靈機(jī)

---

下面開(kāi)始證明 ${\mathrm{A}}_{\mathrm{T}\mathrm{M}}$ 語(yǔ)言 對(duì)應(yīng)的計(jì)算問(wèn)題 是 不可判定的 ;

根據(jù) 丘奇-圖靈 命題 , 圖靈機(jī) 等于 算法 ;

圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ = " 在輸入字符串 $<\mathrm{M},\mathrm{w}>$ 上 , $\mathrm{M}$ 是圖靈機(jī) , $\mathrm{w}$ 是字符串 , 則有 ① 模擬 $\mathrm{M}$ 在 $\mathrm{w}$ 上進(jìn)行計(jì)算 , ② 如果 $\mathrm{M}$ 進(jìn)入接受狀態(tài) , 則 $\mathrm{U}$ 接受 , $\mathrm{M}$ 拒絕 $\mathrm{U}$ 拒絕 , $\mathrm{M}$ Loop $\mathrm{U}$ 也 Loop "

上述 等號(hào) 左側(cè)是 圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ , 等號(hào) 右側(cè) 是 算法 ;

等號(hào) 就是 丘奇-圖靈 命題 ;

$\mathrm{U}$ 是通用 ( Universal ) 圖靈機(jī) ,

① 特殊任務(wù)圖靈機(jī) : 一般情況下 計(jì)算模型 是執(zhí)行一個(gè) 特定任務(wù) , 給定一個(gè)任務(wù) , 給定一個(gè)輸入 , 圖靈機(jī)進(jìn)行計(jì)算 , 然后輸出結(jié)果 ;

② 通用任務(wù)圖靈機(jī) :

圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ 不是特殊任務(wù)圖靈機(jī) , 而是一個(gè) 一般任務(wù)圖靈機(jī) , 該圖靈機(jī)可以執(zhí)行各種操作 ,

將各種圖靈機(jī) , 進(jìn)行編碼 , 輸入到通用圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ 中 , 通用圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ 就會(huì)模仿 特殊圖靈機(jī) $\mathrm{M}$ 在字符串 $\mathrm{w}$ 上進(jìn)行計(jì)算 ;

通用圖靈機(jī) $\mathrm{U}$ 的主要任務(wù)就是 模仿所有其它 特殊圖靈機(jī) $\mathrm{M}$ 進(jìn)行計(jì)算 ;

計(jì)算機(jī)剛出現(xiàn)時(shí) , 每個(gè)計(jì)算機(jī)只能執(zhí)行特殊的任務(wù) ,

真正的通用任務(wù)計(jì)算機(jī)是 馮諾依曼 設(shè)計(jì)的 , 可以執(zhí)行所有的計(jì)算任務(wù) ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【计算理论】可判定性 ( 计算模型与语言 | 区分 可计算语言 与 可判定语言 | 证明 通用图灵机语言是 可计算语言 | 通用任务图灵机 与 特殊任务图灵机 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。