文章目錄

• 一、3-SAT 是 NP 完全問題
• 二、團問題是 NP 完全問題
• 三、團問題是 NP 完全問題 證明思路

一、3-SAT 是 NP 完全問題

---

布爾可滿足性問題 ( Boolean Satisfiability Problem , SAT ) , 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 ;

3-SAT 問題 也是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 ;

3-SAT 問題 的邏輯公式 , 是由一些合取范式 , 這些合取范式中 , 每個子項中 , 所包含的 原子邏輯命題 或其否定命題 的 個數一定為 $3$ ;

合取范式概念參考 【數理邏輯】范式 ( 合取范式 | 析取范式 | 大項 | 小項 | 極大項 | 極小項 | 主合取范式 | 主析取范式 | 等值演算方法求主析/合取范式 | 真值表法求主析/合取范式 ) ;

如下邏輯公式就是 3-SAT 問題邏輯公式 : 舉例說明 :

$({\mathrm{a}}_1\vee {\mathrm{a}}_2\vee {\mathrm{z}}_1)\wedge (\overline{{\mathrm{z}}_1}\vee {\mathrm{a}}_3\vee {\mathrm{z}}_2)\wedge (\overline{{\mathrm{z}}_2}\vee {\mathrm{a}}_4\vee {\mathrm{z}}_3)\wedge ?\wedge (\overline{{\mathrm{z}}_{\mathrm{l}?3}}\vee {\mathrm{a}}_{\mathrm{l}?1}\vee {\mathrm{a}}_{\mathrm{l}})$

SAT 與 3-SAT 問題是相互等價的 , 如果一般的命題邏輯公式 $({\mathrm{a}}_1\vee {\mathrm{a}}_2\vee ?\vee {\mathrm{a}}_{\mathrm{l}})$ 是可以滿足的 , 當且僅當 $({\mathrm{a}}_1\vee {\mathrm{a}}_2\vee {\mathrm{z}}_1)\wedge (\overline{{\mathrm{z}}_1}\vee {\mathrm{a}}_3\vee {\mathrm{z}}_2)\wedge (\overline{{\mathrm{z}}_2}\vee {\mathrm{a}}_4\vee {\mathrm{z}}_3)\wedge ?\wedge (\overline{{\mathrm{z}}_{\mathrm{l}?3}}\vee {\mathrm{a}}_{\mathrm{l}?1}\vee {\mathrm{a}}_{\mathrm{l}})$ 邏輯公式也是可以滿足的 ;

二、團問題是 NP 完全問題

---

團問題是 NP 完全問題

團 是一個無向圖 點集 的 子集 , 使得 該點集子集 中 任何兩個節點之間都有邊相連 ;

團問題 就是 判定無向圖中 , 是否包含有 $\mathrm{k}$ 個節點的 團 ;

上述團問題 , 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 問題 ;

給定一個無向圖 , 其中有一個 $\mathrm{n}$ 個節點組成的集合 , 驗證該 $\mathrm{n}$ 集合是否是團 ;

驗證的方法就是看這 $\mathrm{n}$ 元集中的節點之間兩兩之間是否有邊相連即可 ;

驗證所花的時間是多項式時間 , 該計算問題在 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 中 ;

三、團問題是 NP 完全問題 證明思路

---

證明一個命題是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 :

① 證明是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 問題 : 首先證明該問題是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 問題 ;

② 證明是最難的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 問題 : 然后證明所有的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 問題 , 可以在多項式時間內規約到 該命題中 ; 也可以使用一個已經證明的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 , 在多項式時間內規約到 需要被證明的命題 ;

證明 團問題 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 , 從已知的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題出發 , 已知的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題就是 3-SAT 問題 ,

如果 3-SAT 問題是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的話 ,

只要證明 3-SAT 問題 可以在 多項式時間內規約 到 團問題 中 , 3-SAT $\le$ 團問題 ,

就可以證明 團問題 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 ;

將 3-SAT 問題 可以在 多項式時間內規約 到 團問題 中 ,

給定一個 3-SAT 問題 的 布爾邏輯公式 ,

$?=({\mathrm{x}}_1\vee {\mathrm{x}}_1\vee {\mathrm{x}}_2)\wedge (\overline{{\mathrm{x}}_1}\vee \overline{{\mathrm{x}}_2}\vee \overline{{\mathrm{x}}_2})\wedge (\overline{{\mathrm{x}}_1}\vee {\mathrm{x}}_2\vee {\mathrm{x}}_2)$

構造一個 無向圖 ,

使得 布爾邏輯公式 是可滿足的 , 當且僅當 , 無向圖中有一個 $\mathrm{k}$ 團 ;

$\mathrm{k}$ 團就是無向圖中 $\mathrm{k}$ 個節點子集 , 每兩個節點之間都有邊相連 ;

證明過程 : 從 給定的 3-SAT 布爾邏輯公式 $?=({\mathrm{x}}_1\vee {\mathrm{x}}_1\vee {\mathrm{x}}_2)\wedge (\overline{{\mathrm{x}}_1}\vee \overline{{\mathrm{x}}_2}\vee \overline{{\mathrm{x}}_2})\wedge (\overline{{\mathrm{x}}_1}\vee {\mathrm{x}}_2\vee {\mathrm{x}}_2)$ 中 , 構造出一個無向圖 出來 , 使得該無向圖可以滿足 " 布爾邏輯公式 是可滿足的 , 當且僅當 , 無向圖中有一個 $\mathrm{k}$ 團 "

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【计算理论】计算复杂性 ( 3-SAT 是 NP 完全问题 | 团问题是 NP 完全问题 | 团问题是 NP 完全问题证明思路 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。