文章目錄

• 一、頂點覆蓋問題
• 二、哈密頓路徑問題
• 三、旅行商問題
• 四、子集和問題
• 五、NP 完全問題

一、頂點覆蓋問題

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頂點覆蓋 ( Vertex Cover ) :

給定一個 無向圖 $\mathrm{G}$ , $\mathrm{G}$ 的 點集覆蓋 定義 :

找到 無向圖 $\mathrm{G}$ 的 點集子集 $\mathrm{V}$ ,

使得 無向圖 $\mathrm{G}$ 中的任何一條邊 , 都與 點集子集 $\mathrm{V}$ 的至少一個節點是接觸的 ;

頂點覆蓋問題 : 查看 無向圖 $\mathrm{G}$ 中 是否包含一個指定大小的 滿足上述要求的 點集子集 $\mathrm{V}$ ;

符號化表示 :

$\mathrm{V}\mathrm{E}\mathrm{R}\mathrm{T}\mathrm{E}\mathrm{X}?\mathrm{C}\mathrm{O}\mathrm{V}\mathrm{E}\mathrm{R}=\{<\mathrm{G},\mathrm{K}>|\mathrm{G}是無向圖,包含\mathrm{k}個節點的點集覆蓋\}$

其中 $\mathrm{k}$ 個節點 的 點集覆蓋 就是無向圖中有 $\mathrm{k}$ 個點的點集子集 , 滿足點集覆蓋要求 ;

點集覆蓋 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 ;

二、哈密頓路徑問題

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哈密頓路徑問題在圖論中是很重要的問題 ;

在下圖中 , 從某個頂點出發 , 將所有的頂點都走一遍, 并且每個頂點只能經過一次 ,

經過所有頂點的 圈 稱為 哈密頓圈 ,

經過所有頂點的 道路 稱為 哈密頓道路 , 又稱為 哈密頓路徑 ;

哈密頓路徑問題 就是 找到無向圖中的哈密頓路徑 ;

涉及到的其它概念 :
…
途徑 : 頂點和邊的交替出現的序列 , 其順序符合圖中的位置即可 ;
跡 : 每個邊不能相同的 途徑 ;
路 : 每個點都不相同的 跡 ;
…
這三個概念 , 一個比一個嚴格 ;
…
閉途徑 : 起點 和 終點 相同的 途徑 ;
閉跡 : 起點 和 終點 相同的 跡 , 也稱 回路 ;
圈 : 起點 和 終點 相同的 路 ;
…
$G$ 指的是 Graphic 圖 ;
$E$ 指的是 Edge 邊 ;
$V$ 指的是 Vertext 頂點 ;

哈密頓路徑 , 參考 【圖論】簡單 概念 及 公式 入門 ( 完全圖 | 二部圖 | 連通圖 | 歐拉回路 | 哈密頓圈 | 平面圖 | 歐拉定理 ) 博客中的 歐拉回路 與 哈密頓圈 ;

哈密頓路徑問題 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 ;

無向圖中哈密頓路徑是否存在 , 該問題也是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 ;

前者是求出具體的哈密頓路徑 , 后者求哈密頓路徑是否存在 ;

三、旅行商問題

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旅行商問題 : 無向圖中 , 每條邊都有一個權重 , 求是否有一條哈密頓路徑的權重之和 , 不超過給定的自然數 $\mathrm{W}$ ;

旅行商問題 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 ;

四、子集和問題

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子集和問題 : 給定一個 自然數集合 , 給定一個 自然數 $\mathrm{t}$ , 問給定的自然數集合中 , 是否存在子集 , 使它們之和等于給定的自然數 $\mathrm{t}$ ;

子集和問題 是 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全的 ;

五、NP 完全問題

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計算理論中的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 :

$\mathrm{S}\mathrm{A}\mathrm{T}$ 布爾可滿足性問題 ;

$\mathrm{d}\mathrm{H}\mathrm{A}\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{A}\mathrm{T}\mathrm{H}$ 哈密頓路徑問題 ;

$\mathrm{T}\mathrm{S}\mathrm{P}$ 旅行商問題 ;

下圖就是已知的 $\mathrm{N}\mathrm{P}$ 完全問題 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 | 顶点覆盖问题 | 哈密顿路径问题 | 旅行商问题 | 子集和问题 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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