文章目錄

• 一、泵引理 ( Pumping )
• 二、泵引理證明示例 1
• 三、泵引理證明示例 2
• 四、泵引理證明示例 3

參考博客 : 【計算理論】Pumping 引理 ( 四個等價概念 | 自動機界限 | Pumping 引理簡介 | Pumping 引理證明正則表達式 | Pumping 引理示例分析 )

一、泵引理 ( Pumping )

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正則語言 是 正則表達式 表達的語言 ;

正則表達式 是 原子字符 , 或 原子字符進行遞歸 并運算 $\cup$ , 串聯(lián)運算 $°$ , 星運算 $?$ 形成的字符串組成的語言 ;

正則表達式 等價于 確定性有限自動機 等價于 非確定性有限自動機 ;

使用泵引理可以判定一個語言是否是正則語言 ;

泵引理 :

① 正則語言 : $\mathrm{A}$ 是正則語言 ;

② 數(shù)字 : 存在數(shù)字 $\mathrm{p}$ , 這個 $\mathrm{p}$ 叫做 泵長度 ;

③ 字符串 : $\mathrm{s}$ 是 $\mathrm{A}$ 語言中的子字符串 , 其長度大于等于 $\mathrm{p}$ ; ( 字符串兩個要求 )

④ 字符串分組及要求 : 所有的子字符串 $\mathrm{s}$ 可以分為三個部分 , $\mathrm{s}=\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}$ , 滿足如下要求 :

• $\mathrm{x}{\mathrm{y}}^{\mathrm{i}}\mathrm{z}\in \mathrm{A}(\mathrm{i}\ge 0)$ : $\mathrm{i}$ 表示中間的 $\mathrm{y}$ 的重復(fù)次數(shù) ;
• $|\mathrm{y}|>0$ : $\mathrm{y}$ 是中間重復(fù)的部分 , 星計算部分 ;
• $|\mathrm{x}\mathrm{y}|\le \mathrm{p}$

使用泵引理證明某語言是正則語言步驟 : 使用 反正法 進行證明 ;

① 提出假設(shè) : 首先假設(shè)該語言是正則的 ;

② Pumping 引理常數(shù)提出 : 存在一個常數(shù) $\mathrm{p}$ , 所有長度至少為 $\mathrm{p}$ 的任何字符串 , 都滿足 Pumping 引理 的三個性質(zhì) ;

③ 找出矛盾 假設(shè)不成立 : 如果不滿足 Pumping 引理 , 說明上面假設(shè)該語言是正則語言 是不成立的 , 該語言不是正則語言 ;

二、泵引理證明示例 1

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證明 : $\{0^n{1}^n:n\ge 0\}$ 語言 不是正則語言 ;

1. 提出假設(shè) : 假設(shè) $\{0^n{1}^n:n\ge 0\}$ 語言 是正則語言 ;

2. 泵長度 : 存在一個泵長度 $\mathrm{p}$ , 只要是 長度至少為 $\mathrm{p}$ 的子字符串 $\mathrm{s}$ , 都 滿足 Pumping 引理 的三個性質(zhì) ; $\mathrm{s}$ 字符串可以分為三個部分 , $\mathrm{s}=\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}$ , 滿足如下要求 :

• $\mathrm{x}{\mathrm{y}}^{\mathrm{i}}\mathrm{z}\in \mathrm{A}(\mathrm{i}\ge 0)$ : $\mathrm{i}$ 表示中間的 $\mathrm{y}$ 的重復(fù)次數(shù) ;
• $|\mathrm{y}|>0$ : $\mathrm{y}$ 是中間重復(fù)的部分 , 星計算部分 ;
• $|\mathrm{x}\mathrm{y}|\le \mathrm{p}$

3. 找出矛盾 : 找出一個 長度至少為 $\mathrm{p}$ 的子字符串 $\mathrm{s}$ , 不符合泵引理要求 , 這里就出現(xiàn)了矛盾 , 假設(shè)不成立 ;

選擇字符串 $\mathrm{s}=0^{\mathrm{p}}{1}^{\mathrm{p}}$ , 該字符串有 $\mathrm{p}$ 個 $0$ 和 $\mathrm{p}$ 個 $1$ 字符組成 ;

$y$ 出現(xiàn)三種情況 : $y$ 全部由 $0$ 組成 , $y$ 全部由 $1$ 組成 , $y$ 全部由 $0,1$ 組成 ;

① $y$ 全部由 $0$ 組成 情況分析 :

假設(shè) : 假設(shè) $y$ 全部由 $0$ 組成 , 其不停的重復(fù) , 得到的新字符串 , 仍然屬于 $A$ 語言 ;

$y$ 重復(fù)后不符合要求 : $\mathrm{i}$ 是任意值 , 但是 $0$ 重復(fù)若干次之后 , 如 重復(fù)次數(shù)$\mathrm{i}=\mathrm{p}+1$ , $0$ 的個數(shù)就大于 $1$ 的個數(shù)了 , 此時不符合 $s=0^p{1}^p$ 要求了 , 因此這種情況不成立 ;

② $y$ 全部由 $1$ 組成 情況分析 :

假設(shè) : 假設(shè) $y$ 全部由 $1$ 組成 , 其不停的重復(fù) , 得到的新字符串 , 仍然屬于 $A$ 語言 ;

$y$ 重復(fù)后不符合要求 : $\mathrm{i}$ 是任意值 , 但是 $1$ 重復(fù)若干次之后 , 如 重復(fù)次數(shù)$\mathrm{i}=\mathrm{p}+1$ , $1$ 的個數(shù)就大于 $0$ 的個數(shù)了 , 此時不符合 $s=0^p{1}^p$ 要求了 , 因此這種情況不成立 ;

③ $y$ 全部由 $0,1$ 組成 情況分析 :

假設(shè) : 假設(shè) $y$ 全部由 $0,1$ 組成 , 其不停的重復(fù) , 得到的新字符串 , 仍然屬于 $A$ 語言 ;

$y$ 重復(fù)后不符合要求 : $\mathrm{i}$ 是任意值 , 但是 $0,1$ 重復(fù)若干次之后 , 如 重復(fù)次數(shù)$\mathrm{i}=\mathrm{p}+1$ , 就會打亂 $s=0^p{1}^p$ 字符串中 $0,1$ 的相互順序 , 其中 $0,1$ 不能存在交叉 , 因此這種情況不成立 ;

經(jīng)過上述討論 , $y$ 的三種情況都不符合 Pumping 引理 , 因此 $\{0^n{1}^n:n\ge 0\}$ 語言不是正則語言 ;

三、泵引理證明示例 2

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證明 : $\{0^n{1}^n{2}^n:n\ge 0\}$ 語言 不是正則語言 ;

1. 提出假設(shè) : 假設(shè) $\{0^n{1}^n{2}^n:n\ge 0\}$ 語言 是正則語言 ;

2. 泵長度 : 存在一個泵長度 $\mathrm{p}$ , 只要是 長度至少為 $\mathrm{p}$ 的子字符串 $\mathrm{s}$ , 都 滿足 Pumping 引理 的三個性質(zhì) ; $\mathrm{s}$ 字符串可以分為三個部分 , $\mathrm{s}=\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}$ , 滿足如下要求 :

• $\mathrm{x}{\mathrm{y}}^{\mathrm{i}}\mathrm{z}\in \mathrm{A}(\mathrm{i}\ge 0)$ : $\mathrm{i}$ 表示中間的 $\mathrm{y}$ 的重復(fù)次數(shù) ;
• $|\mathrm{y}|>0$ : $\mathrm{y}$ 是中間重復(fù)的部分 , 星計算部分 ;
• $|\mathrm{x}\mathrm{y}|\le \mathrm{p}$

3. 找出矛盾 : 找出一個 長度至少為 $\mathrm{p}$ 的子字符串 $\mathrm{s}$ , 不符合泵引理要求 , 這里就出現(xiàn)了矛盾 , 假設(shè)不成立 ;

選擇字符串 $\mathrm{s}=0^{\mathrm{p}}{1}^{\mathrm{p}}{2}^{\mathrm{p}}$ , 該字符串有 $\mathrm{p}$ 個 $0$ , $\mathrm{p}$ 個 $1$ , $\mathrm{p}$ 個 $2$ 字符組成 ;

$y$ 出現(xiàn)三種情況 : $y$ 全部由 $0$ 組成 , $y$ 全部由 $1$ 組成, $y$ 全部由 $2$ 組成 , $y$ 全部由 $0,1,2$ 組成, $y$ 全部由 $0,1$ 組成 , $y$ 全部由 $1,2$ 組成 ;

如果字符串僅有 $0,1,2$ 單個字符 , 重復(fù)任意 $\mathrm{i}$ 次后 , 不能保證三個字符數(shù)量相等 , 矛盾 ;

如果字符串由多個字符組成 , 一旦重復(fù)之后 , 次序就被打亂 , 無法保證三個字符次序 , 也是矛盾 ;

四、泵引理證明示例 3

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證明 : $\{\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}|\mathrm{w}\in \{\mathrm{a},\mathrm{b}{\}}^{?}\}$ 語言 不是正則語言 ;

$\{\mathrm{a},\mathrm{b}{\}}^{?}$ 中的星運算 $?$ 是 將 $\{\mathrm{a},\mathrm{b}\}$ 中的有限個字符串串聯(lián)在一起 , 將若干個 $\mathrm{a}$ 與若干個 $\mathrm{b}$ 以任意先后順序任意交錯順序進行排列 ; 即 $\mathrm{a},\mathrm{b}$ 組成的任意字符串都屬于上述語言 ;

1. 提出假設(shè) : 假設(shè) $\{\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}|\mathrm{w}\in \{\mathrm{a},\mathrm{b}{\}}^{?}\}$ 語言 是正則語言 ;

2. 泵長度 : 存在一個泵長度 $\mathrm{p}$ , 只要是 長度至少為 $\mathrm{p}$ 的子字符串 $\mathrm{s}$ , 都 滿足 Pumping 引理 的三個性質(zhì) ; $\mathrm{s}$ 字符串可以分為三個部分 , $\mathrm{s}=\mathrm{x}\mathrm{y}\mathrm{z}$ , 滿足如下要求 :

• $\mathrm{x}{\mathrm{y}}^{\mathrm{i}}\mathrm{z}\in \mathrm{A}(\mathrm{i}\ge 0)$ : $\mathrm{i}$ 表示中間的 $\mathrm{y}$ 的重復(fù)次數(shù) ;
• $|\mathrm{y}|>0$ : $\mathrm{y}$ 是中間重復(fù)的部分 , 星計算部分 ;
• $|\mathrm{x}\mathrm{y}|\le \mathrm{p}$

3. 找出矛盾 : 找出一個 長度至少為 $\mathrm{p}$ 的子字符串 $\mathrm{s}$ , 不符合泵引理要求 , 這里就出現(xiàn)了矛盾 , 假設(shè)不成立 ;

選擇字符串 $\mathrm{s}={\mathrm{a}}^{\mathrm{p}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{p}}$ , 該字符串有 $\mathrm{p}$ 個 $\mathrm{a}$ , $\mathrm{p}$ 個 $\mathrm{b}$ 字符組成 ;

$y$ 出現(xiàn)三種情況 : $\mathrm{y}$ 全部由 $\mathrm{a}$ 組成 , $\mathrm{y}$ 全部由 $\mathrm{b}$ 組成, $\mathrm{y}$ 由 $\mathrm{a}\mathrm{b}$ 組成 ;

如果字符串僅有 $\mathrm{a},\mathrm{b}$ 單個字符 , 重復(fù)任意 $\mathrm{i}$ 次后 , 不能保證兩個字符數(shù)量相等 , 矛盾 ;

如果字符串由多個字符組成 , 一旦重復(fù)之后 , 次序就被打亂 , 無法保證兩個個字符次序 , 也是矛盾 ;

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【计算理论】计算理论总结 ( 泵引理 Pumping 证明 ) ★★的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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