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• 一、克尼格定理
• 二、匈牙利法引入

一、克尼格定理

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匈牙利法 主要用于解決指派問題 , 其主要依據是 克尼格定理 ;

指派問題 參考 【運籌學】整數規劃 ( 整數規劃求解方法 | 指派問題 ) 博客 ;

克尼格定理 :

分配問題 效率矩陣 $[a_{ij}]$ 中 ,

每一行元素 中加上或減去一個常數 $u_i$ ,

每一列元素 中加上或減去一個常數 $v_j$ ,

得到新的效率矩陣 $[b_{ij}]$ ,

兩個效率矩陣 $[a_{ij}]$ 與 $[b_{ij}]$ 分配問題的 最優解相同 ;

克尼格定理示例 : 指派問題 , 給 $4$ 個人指派 $4$ 個崗位 , 每個人在不同的崗位產生的利潤不同 , 如何安排使得利潤最高 ;

$A$$B$$C$$D$

甲	$85$	$92$	$73$	$90$
乙	$95$	$87$	$78$	$95$
丙	$82$	$83$	$79$	$90$
丁	$86$	$90$	$80$	$88$

給 甲 對應的行加上所有表格都加上 $5$ , 變為如下表格 ,

$A$$B$$C$$D$

甲	$90$	$97$	$78$	$95$
乙	$95$	$87$	$78$	$95$
丙	$82$	$83$	$79$	$90$
丁	$86$	$90$	$80$	$88$

甲 今天狀態好 , 不管四個工作 , 哪個分配給 甲 , 其產生的利潤都會增加 ;

最終計算出來的指派問題的最優解是不變的 ;

二、匈牙利法引入

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給 甲乙丙丁 四人分配 $ABCD$ 四項工作 , 每人做每項工作的耗時如下 , 如何指派問題使得耗時最小 ;

$A$$B$$C$$D$

甲	$6$	$7$	$11$	$2$
乙	$4$	$5$	$9$	$8$
丙	$3$	$1$	$10$	$4$
丁	$5$	$9$	$8$	$2$

分派任務時 , 給每個人分配其所用時間最小的工作 ,

• 給 甲 分配 $D$ 任務 , 其只用 2 時間即可完成該任務 , 耗時最小 ;
• 給 乙 分配 $A$ 任務 , 其只用 4 時間即可完成該任務 , 耗時最小 ;
• 給 丙 分配 $B$ 任務 , 其只用 1 時間即可完成該任務 , 耗時最小 ;
• 給 丁 分配 $C$ 任務 , $ABD$ 任務已經分配給了其它人 , 只能給 丁 分配 $C$ 任務 ;

如果 為每個人選擇了耗時最小的任務 , 正好位于不同行 , 不同列 , 那么當前的指派 , 就是該問題的 最優解 ;

但是上述示例中 , 給 丁 分配任務時 , 合適的任務都分配給了甲乙丙 , 只能分配 $C$ 任務 ;

這時就需要討論給 丁 指派 $C$ 任務是否是最優的 ;

這里就需要 引入 匈牙利法 解決上述問題 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】匈牙利法 ( 克尼格定理 | 匈牙利法引入 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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