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• 一、整數規劃示例
• 二、整數規劃解決的核心問題

一、整數規劃示例

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資金總額 $\mathrm{B}$ , 有 $n$ 個投資項目 , 項目 $j$ 所需的投資金額 是 $a_j$ , 預期收益是 $c_j$ , $j=1,2,?,n$ ;

投資還有以下附加條件 :

① 如果投資項目 $1$ , 必須投資項目 $2$ ; 反之如果投資項目 $2$ , 沒有限制 ;

② 項目 $3$ 和 項目 $4$ 必須至少選 $1$ 個 ;

③ 項目 $5,6,7$ 只能選擇 $2$ 個 ;

決策變量分析 : 選擇合適的 決策變量 與 決策變量取值 ;

選取變量 , 使得變量的一組取值 , 能更好對應線性規劃問題的解決方案 ;

每個項目有對應的兩個選擇 , 投資 / 不投資 , 分別使用 $1$ 和 $0$ 表示 ;

令 $x_j$ 表示第 $j$ 個項目的投資選擇 , 投資 $1$ , 不投資 $0$ ; ( $j=1,2,?,n$ )

投資額約束條件 : 所有的投資總額不能超過 $\mathrm{B}$ , ${\sum }_{j=1}^n{a}_j{x}_j\le B$ ;

分析條件 ① : 投資項目 $1$ , 必須投資項目 $2$ , 此時 $x_1=x_2=1$ ; 投資項目 $2$ 可以投資項目 $1$ , 可以不投資項目 $1$ , 同時投資的情況上面已經分析過 , 分析后者 $x_1=1,x_2=0,此時x_1>x_2$ ; 綜合上述兩種情況就有 $x_2\ge x_1$ ;

分析條件 ② : 項目 $3$ 和 項目 $4$ 必須至少選 $1$ 個 , 兩者選擇一個 , 或者都選擇 , 二者相加之和是 $1$ 或 $2$ ; 有約束方程 $x_3+x_4\ge 1$ ;

分析條件 ③ : 項目 $5,6,7$ 只能選擇 $2$ 個 , 則三者相加等于 $2$ 即可 ; 約束方程 $x_5+x_6+x_7=2$ ;

投資問題可以表示為以下線性規劃 :

$\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{Z}={\sum }_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{c}}_{\mathrm{j}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}\\ \\ \mathrm{s}.\mathrm{t}?\begin{array}{l}{\sum }_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{j}}{\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}\le \mathrm{B}\\ \\ {\mathrm{x}}_2\ge {\mathrm{x}}_1\\ \\ {\mathrm{x}}_3+{\mathrm{x}}_4\ge 1\\ \\ {\mathrm{x}}_5+{\mathrm{x}}_6+{\mathrm{x}}_7=2\\ \\ {\mathrm{x}}_{\mathrm{j}}=0,1(\mathrm{j}=1,2,?,\mathrm{n})\end{array}\end{array}$

根據 【運籌學】整數規劃 ( 相關概念 | 整數規劃 | 整數線性規劃 | 整數線性規劃分類 ) 博客中的整數線性規劃概念 , 上述線性規劃是 整數線性規劃 ;

上述整數線性規劃 的 松弛問題 是一個線性規劃 , 可以使用單純形法對其進行求解 , 求出最優解后 , 可能是小數 , 那么如何得到整數問題的最優解 , 不能進行簡單的四舍五入 ;

二、整數規劃解決的核心問題

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給出 整數規劃問題 ,

先求該 整數規劃的松弛問題 的解 ,

松弛問題就是不考慮整數約束 , 將整數線性規劃當做普通的線性規劃 , 使用單純形法求出其最優解 ;

簡單的將其松弛問題最優解上下取整 , 得到的四個值 , 可能 不在可行域中 , 選擇的整數解 , 必須在可行域中 ;

根據 整數規劃問題的的松弛問題 的最優解 , 如何找其 整數規劃問題 的整數最優解 , 是整數規劃問題的核心問題 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【运筹学】整数规划 ( 整数规划示例 | 整数规划解决的核心问题 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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