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• 一、判斷某個系統是否是 “ 線性 “ 系統

一、判斷某個系統是否是 “ 線性 “ 系統

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系統 $T$ 是 " 時不變系統 " , 輸入序列 與 輸出序列 如下圖所示 :

輸入為 $x_1(n)$ 序列時 , 輸出是 $y_1(n)$ 序列 ;

輸入為 $x_2(n)$ 序列時 , 輸出是 $y_2(n)$ 序列 ;

輸入為 $x_3(n)$ 序列時 , 輸出是 $y_3(n)$ 序列 ;

判斷上圖中的系統 $T$ 是是否是 線性系統 ;

當系統為 $T[\delta (n)]$ 時 , 輸出是什么 ;

$x_1(n)=\delta (n)+2\delta (n?1)$ , $y_1(n)=2\delta (n?1)+3\delta (n?2)$

$x_2(n)=2\delta (n?1)$ , $y_2(n)=2\delta (n?2)+4\delta (n?3)$

$x_3(n)=\delta (n?4)$ , $y_3(n)=2\delta (n+1)+3\delta (n+2)$

$x_1(n)=x_2(n)+x_3(n+4)$ , 令 $x_1(n)$ 中的 $\delta (n)$ 等于 $x_3(n)$ 中的 $\delta (n?4)$ , 向左移 $4$ 即可 ;

在該系統是 " 時不變 " 系統的前提下 , 如果 $y_1(n)=y_2(n)+y_3(n+4)$ , 那么說明該系統是 " 線性 " 系統 ;

$y_1(n)=y_2(n)+y_3(n+4)$

$y_2(n)+y_3(n+4)=2\delta (n?2)+4\delta (n?3)+2\delta (n+5)+3\delta (n+6)$ , 明顯不等于 $y_1(n)=2\delta (n?1)+3\delta (n?2)$ ;

該系統 , 不是 " 線性 " 系統 ;

$T[\delta (n)]$ 系統中 , 如果 輸入是 $\delta (n)$ 序列 , 則對應的 " 變換 " 后的輸出是 $y_3(n+4)=2\delta (n+5)+3\delta (n+6)$ , 得到如下公式 :
$$T[\delta (n)]=2\delta (n+5)+3\delta (n+6)$$

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總結

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