文章目錄

• 一、LTI 系統單位脈沖響應
• 二、卷積

一、LTI 系統單位脈沖響應

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線性時不變系統 , 簡稱 " LTI " , 英文全稱 Linear time-invariant ;

系統的 " 時域特性 " 為 $h(n)=T[\delta (n)]$ ;

在 " 模擬系統 " 中 , 當系統輸入為 $\delta (t)$ 時 , 系統的 " 零狀態響應 " 是 $h(t)$ ;

在 " 離散系統 " 中 , 當系統輸入為 $\delta (n)$ 時 , 系統的 " 零狀態響應 " 是 $h(n)$ , 零狀態是 $y(?1)=0$ ;

定義了系統的 " 單位脈沖響應 " 之后 , 系統的 " 輸入 " 和 " 輸出 " 之間 , 存在著 " 卷積 " 關系 ;

二、卷積

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對于 線性時不變系統 ( LTI - Linear time-invariant ) 來說 ,

假設 $x(n)$ 是 LTI 系統的 " 輸入序列 " , $y(n)$ 是 " 輸出序列 " ,

則有 :

$$y(n)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)h(n?m)=x(n)?h(n)$$

線性時不變系統 ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 輸出序列 "

等于

" 輸入序列 " 與 " 系統單位脈沖響應 " 的 線性卷積 ;

推導過程如下 :

任何一個 輸入序列 $x(n)$ , 都可以由 單位脈沖序列 的 加權和 表示 :

$$x(n)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)\delta (n?m)$$

與上面的 輸入序列 $x(n)$ 相對應的 輸出序列 $y(n)$ 為 :

$$y(n)=T[x(n)]=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)T[\delta (n?m)]$$

上述式子中使用的 系統 $T[\delta (n?m)]$ 是 " 線性 " 系統 ,

當該系統 $T$ 的輸入為 $\delta (n)$ 時 , 輸出為 $h(n)$ ;

( 根據 " 時不變 " 系統的性質 , 系統特性不隨著時間變化而變化 )

當該系統 $T$ 的輸入為 $\delta (n?m)$ 時 , 輸出為 $h(n?m)$ ;

( 根據 " 時不變 " 系統的性質 , 系統特性不隨著時間變化而變化 )

$$\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)h(n?m)=x(n)?h(n)$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】线性时不变系统 LTI “ 输入 “ 与 “ 输出 “ 之间的关系 ( LTI 系统单位脉冲响应 | 卷积 | 卷积推导过程 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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