【数字信号处理】离散时间系统因果性 ( 因果性概念 | 充要条件及证明 )
文章目錄
- 一、離散時(shí)間系統(tǒng)因果性
- 二、充要條件證明
- 1、充分性證明
- 2、必要性證明
一、離散時(shí)間系統(tǒng)因果性
① 離散時(shí)間系統(tǒng)因果性 :
" 離散時(shí)間系統(tǒng) " nnn 時(shí)刻 的 " 輸出 " ,
只取決于 nnn 時(shí)刻 及 nnn 時(shí)刻 之前 的 " 輸入序列 " ,
與 nnn 時(shí)刻之后 的 " 輸入序列 " 無關(guān) ;
離散時(shí)間系統(tǒng) 的 " 輸出結(jié)果 " 與 " 未來輸入 " 無關(guān) ;
" ② 離散時(shí)間系統(tǒng)因果性 " 的 充分必要條件是 :
h(n)=0n<0h(n) = 0 \ \ n < 0h(n)=0??n<0
模擬系統(tǒng)的 " 單位沖激響應(yīng) " , 必須 從 000 時(shí)刻開始才有值 , 是 " 單邊序列 " 類型中的 " 右邊序列 " , 000 時(shí)刻的值 也就是 起點(diǎn)不能為 000 ;
二、充要條件證明
1、充分性證明
如果 h(n)=0n<0h(n) = 0 \ \ n < 0h(n)=0??n<0 成立 , 則 離散時(shí)間系統(tǒng) 具有 " 因果性 " ;
線性時(shí)不變 LTI 系統(tǒng) , 有
y(n)=∑m=?∞+∞x(m)h(n?m)y(n) = \sum^{+\infty}_{m = -\infty} x(m) h(n-m)y(n)=m=?∞∑+∞?x(m)h(n?m)
h(n)=0n<0h(n) = 0 \ \ n < 0h(n)=0??n<0 成立的話 , 在 n<0n < 0n<0 時(shí) , h(n)=0h(n) = 0h(n)=0 ;
如果在 m>nm > nm>n 時(shí) , n?m<0n - m < 0n?m<0 , h(n?m)=0h(n - m) = 0h(n?m)=0 ,
y(n)y(n)y(n) 只與 m≤nm \leq nm≤n 時(shí)有關(guān) , 只有在該情況 ( m≤nm \leq nm≤n ) 下 , h(n?m)=?0h(n - m) \not= 0h(n?m)?=0 , y(n)y(n)y(n) 才有實(shí)際意義 ;
y(n)y(n)y(n) 的計(jì)算公式為 :
y(n)=∑m=?∞nx(m)h(n?m)y(n) = \sum^{n}_{m = -\infty} x(m) h(n-m)y(n)=m=?∞∑n?x(m)h(n?m)
2、必要性證明
如果 離散時(shí)間系統(tǒng) 具有 " 因果性 " , 則在 n<0n < 0n<0 時(shí) 有 h(n)=0h(n) = 0h(n)=0 ;
使用反證法證明 , 首先 假設(shè) 當(dāng) n<0n < 0n<0 時(shí) , h(n)=?0h(n) \not= 0h(n)?=0 ;
當(dāng) m>nm > nm>n 時(shí) , h(n?m)=?0h(n - m) \not= 0h(n?m)?=0 ,
y(n)=∑m=?∞nx(m)h(n?m)+∑m=n+1∞x(m)h(n?m)y(n) =\sum^{n}_{m = -\infty} x(m) h(n-m) + \sum^{\infty}_{m = n + 1} x(m) h(n-m)y(n)=m=?∞∑n?x(m)h(n?m)+m=n+1∑∞?x(m)h(n?m)
上面式子中的 ∑m=n+1∞x(m)h(n?m)\sum^{\infty}_{m = n + 1} x(m) h(n-m)∑m=n+1∞?x(m)h(n?m) 項(xiàng)不為 000 ,
該 LTI 系統(tǒng)的 輸出 y(n)y(n)y(n) 與 m>nm > nm>n 時(shí)的 x(m)x(m)x(m) 相關(guān) ,
因此系統(tǒng)是 " 非因果的 " , 假設(shè)不成立 ;
結(jié)論 : 如果 離散時(shí)間系統(tǒng) 具有 " 因果性 " , 在 n<0n < 0n<0 時(shí) 一定有 h(n)=0h(n) = 0h(n)=0 ;
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】离散时间系统因果性 ( 因果性概念 | 充要条件及证明 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： 【数字信号处理】卷积编程实现 ( Mat
- 下一篇： 【数字信号处理】离散时间系统稳定性 (