文章目錄

• 一、離散時間系統因果性
• 二、充要條件證明
• • 1、充分性證明
  • 2、必要性證明

一、離散時間系統因果性

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① 離散時間系統因果性 :

" 離散時間系統 " $n$ 時刻 的 " 輸出 " ,

只取決于 $n$ 時刻 及 $n$ 時刻 之前 的 " 輸入序列 " ,

與 $n$ 時刻之后 的 " 輸入序列 " 無關 ;

離散時間系統 的 " 輸出結果 " 與 " 未來輸入 " 無關 ;

" ② 離散時間系統因果性 " 的 充分必要條件是 :

$$h(n)=0n<0$$

模擬系統的 " 單位沖激響應 " , 必須 從 $0$ 時刻開始才有值 , 是 " 單邊序列 " 類型中的 " 右邊序列 " , $0$ 時刻的值 也就是 起點不能為 $0$ ;

二、充要條件證明

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1、充分性證明

如果 $h(n)=0n<0$ 成立 , 則 離散時間系統 具有 " 因果性 " ;

線性時不變 LTI 系統 , 有

$$y(n)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)h(n?m)$$

$h(n)=0n<0$ 成立的話 , 在 $n<0$ 時 , $h(n)=0$ ;

如果在 $m>n$ 時 , $n?m<0$ , $h(n?m)=0$ ,

$y(n)$ 只與 $m\le n$ 時有關 , 只有在該情況 ( $m\le n$ ) 下 , $h(n?m)=0$ , $y(n)$ 才有實際意義 ;

$y(n)$ 的計算公式為 :

$$y(n)=\sum _{m=?\infty }^{n}x(m)h(n?m)$$

2、必要性證明

如果 離散時間系統 具有 " 因果性 " , 則在 $n<0$ 時 有 $h(n)=0$ ;

使用反證法證明 , 首先 假設 當 $n<0$ 時 , $h(n)=0$ ;

當 $m>n$ 時 , $h(n?m)=0$ ,

$$y(n)=\sum _{m=?\infty }^{n}x(m)h(n?m)+\sum _{m=n+1}^{\infty }x(m)h(n?m)$$

上面式子中的 ${\sum }_{m=n+1}^{\infty }x(m)h(n?m)$ 項不為 $0$ ,

該 LTI 系統的 輸出 $y(n)$ 與 $m>n$ 時的 $x(m)$ 相關 ,

因此系統是 " 非因果的 " , 假設不成立 ;

結論 : 如果 離散時間系統 具有 " 因果性 " , 在 $n<0$ 時 一定有 $h(n)=0$ ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】离散时间系统因果性 ( 因果性概念 | 充要条件及证明 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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