文章目錄

• 一、卷積與交換性
• • 1、卷積概念
  • 2、卷積交換律
• 二、相關(guān)函數(shù)交換性

一、卷積與交換性

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1、卷積概念

對于 線性時不變系統(tǒng) ( LTI - Linear time-invariant ) 來說 ,

假設(shè) $x(n)$ 是 LTI 系統(tǒng)的 " 輸入序列 " , $y(n)$ 是 " 輸出序列 " ,

則有 :

$$y(n)=\sum _{m=?\infty }^{+\infty }x(m)h(n?m)=x(n)?h(n)$$

線性時不變系統(tǒng) ( LTI - Linear time-invariant ) 的

" 輸出序列 "

等于

" 輸入序列 " 與 " 系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) " 的 線性卷積 ;

參考 【數(shù)字信號處理】線性時不變系統(tǒng) LTI “ 輸入 “ 與 “ 輸出 “ 之間的關(guān)系 ( LTI 系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) | 卷積 | 卷積推導(dǎo)過程 ) 博客 ;

2、卷積交換律

線性卷積 具有 交換性 ;

$$x(n)?h(n)=h(n)?x(n)$$

參考 【數(shù)字信號處理】線性時不變系統(tǒng) LTI “ 輸入 “ 與 “ 輸出 “ 之間的關(guān)系 ( 周期性分析 | 卷積運算規(guī)律 | 交換律 | 結(jié)合律 | 分配率 | 沖擊不變性 ) 博客 ;

二、相關(guān)函數(shù)交換性

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$x(n)$ 卷積 $h(n)$ 的結(jié)果 等于 $h(n)$ 卷積 $x(n)$ 的結(jié)果 ;

但是 " 相關(guān)函數(shù) " 不具有交換性 ;

$x(n)$ 與 $y(n+m)$ 的相關(guān)函數(shù) $r_{xy}(m)$ 如下 :

$$r_{xy}(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{x}^{?}(n)y(n+m)$$

這里先給出結(jié)論 ,

$x(n)$ 與 $y(n+m)$ 的相關(guān)函數(shù) $r_{xy}(m)$ ,

不等于

$y(n)$ 與 $x(n+m)$ 的相關(guān)函數(shù) $r_{yx}(m)$ ,

相關(guān)函數(shù) , 不具有 交換性 ;

$x(n)$ 與 $y(n+m)$ 的相關(guān)函數(shù) $r_{xy}(m)$ 如下 :

$$r_{yx}(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{y}^{?}(n)x(n+m)$$

令 $n+m=n^{\prime }$ ,

$n$ 的取值范圍是 $?\infty$ ~ $+\infty$ ,

則 $n^{\prime }$ 取值范圍也是 $?\infty$ ~ $+\infty$ ,

使用 $n=n^{\prime }?m$ 替換 $n$ ,

$$r_{yx}(m)=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{y}^{?}(n^{\prime }?m)x(n^{\prime }?m+m)$$

$$=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{y}^{?}(n^{\prime }?m)x(n^{\prime })$$

$$=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{y}^{?}(n?m)x(n)$$

$$=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)y^{?}(n?m)$$

根據(jù) 復(fù)數(shù)共軛 運算公式 $(a+b{)}^{?}=a^{?}+b^{?}$ ,

將 ${\sum }_{n=?\infty }^{+\infty }x(n)y^{?}(n?m)$ 的 共軛 取到 加和符號 $\sum$ 外面 ,

$x(n)$ 需要加上共軛 $x^{?}(n)$ ,

$y^{?}(n?m)$ 也要加上一個共軛 $y(n?m)$ ;

$$=r_{xy}^{?}(?m)$$

很明顯 ,

該 $y(n)$ 與 $x(n+m)$ 的相關(guān)函數(shù) $r_{yx}(m)$ 計算出來的結(jié)果 ,

與 $x(n)$ 與 $y(n+m)$ 的相關(guān)函數(shù) $r_{xy}(m)$ 計算結(jié)果不同 ,

因此對于 相關(guān)函數(shù) , 交換律 不成立 ;

總結(jié)

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