文章目錄

• 一、序列傅里葉變換與反變換
• 二、序列絕對可和 與 存在傅里葉變換之間的關系
• 三、序列傅里葉變換性質

一、序列傅里葉變換與反變換

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在上一篇博客 【數字信號處理】序列傅里葉變換 ( 序列傅里葉變換定義詳細分析 | 證明單位復指數序列正交完備性 | 序列存在傅里葉變換的性質 | 序列絕對可和 → 序列傅里葉變換一定存在 ) 的介紹了如下內容 :

傅里葉變換 : 時域 " 離散非周期 " 信號 , 其頻域就是 " 連續周期 " 的 , 其頻域 可以 展開成一個 " 正交函數的無窮級數加權和 " , 如下公式

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

傅里葉反變換 : 利用 " 正交函數 " 可以推導出 " 傅里葉反變換 " , 即 根據 傅里葉變換 推導 序列 ;

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

二、序列絕對可和 與 存在傅里葉變換之間的關系

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序列絕對可和 與 存在傅里葉變換 :

• 如果 " $x(n)$序列絕對可和 " , 則 " 序列傅里葉變換 SFT " 一定存在 ;
• 如果 " 序列傅里葉變換 SFT " 存在 , 不一定 " $x(n)$序列絕對可和 " ; 某些 " 非絕對可和序列 " , 引入 廣義函數 $\delta (\omega )$ 后 , 其 傅里葉變換也存在 ;

序列絕對可和可以表示成 :

$$\sum _{n=?\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

三、序列傅里葉變換性質

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$x(n)$ 的傅里葉變換是 $X(e^{j\omega })$ , 有如下性質 :

• 連續性 : 序列 $x(n)$ 是離散的 , 其 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 對 $\omega$ 來說是連續的 ;

• 周期性 : $X(e^{j\omega })$ 是周期的 , 其周期是 $2\pi$ , 其主值區間為 $[?\pi ,\pi ]$ ;

$$X(e^{j\omega })=X(e^{j(\omega +2M\pi )})$$

其中 $M$ 是整數 ; $e^{?j\omega n}$ , 將 $\omega =2\pi M$ 帶入即可得到其是以 $2\pi$ 為周期的 ;

• 周期獨立性 : 在 相同周期 內的 各個頻率 彼此獨立 , 頻率列舉 :
  • 數字角頻率域 , 即 $\omega$ 域
  • 直流分量角頻率 在 $\omega =2M\pi$ , $\pi$ 的偶數被上 ;
  • 信號 最高角頻率 在 $\omega =(2M+1)\pi$ , $\pi$ 的奇數倍 上 ;

數字角頻率 $\omega$ , 與 模擬角頻率 $\Omega$ 之間的關系 :

$$\omega =\Omega T$$

直流就是 $\omega =2\pi f$ 中的 數字頻率 $f=0$ ;

直流的時候 , 數字頻率 $f$ 為 $0$ , 則數字角頻率 $\omega$ 也為 $0$ ;

證明 " 直流分量角頻率 在 $\omega =2M\pi$ " :

直流分量 角頻率 在 $\pi$ 的偶數倍上 , 角頻率 是以 $2\pi$ 為周期的 , 周期信號的 組織是 $[?\pi ,\pi ]$ ,

在 橫軸為 $\omega$ 角頻率 , 縱軸為 $X(e^{j\omega })$ 的坐標系中 , 橫坐標 $\omega =0$ 位置的值對應 $\omega =2\pi$ 和 $\omega =?2\pi$ , 這 $3$ 個橫坐標位置的縱坐標值相等 , 直流分量 永遠在 $\pi$ 的偶數倍上 ;

證明 " 最高頻率分量 在 $\pi$ 的奇數倍上 " :

根據 $\omega =\Omega T$ , 計算 $\omega =\pi$ 點對應的 模擬頻率 ,

$$\omega =\Omega T=\pi$$

模擬角頻率 $\Omega =\frac{\pi }{T}$ , 其中 $T$ 是采樣周期 , 單位是秒 ;

則采樣率 $F_s=\frac{1}{T}$ , 單位是 $Hz$ , 每秒采集多少樣本 ;

$\Omega =\frac{\pi }{T}=\frac{{\Omega }_s}{2}$ , 其中 ${\Omega }_s$ 是采樣角頻率 ;

模擬角頻率是 $\Omega =2\pi f$ , 其中 $\Omega$ 是模擬角頻率 , $f$ 是模擬頻率 ;

$${\Omega }_s=2\pi F_s=\frac{2\pi }{T}$$

根據采樣定理 , ${\Omega }_s\ge {\Omega }_{max}$ , ${\Omega }_s$ 是采樣角頻率 要大于等于 ${\Omega }_{max}$ 最高頻率 ;

${\Omega }_{max}$ 最高頻率 就是 $\frac{{\Omega }_s}{2}$ , 其中 ${\Omega }_s$ 是采樣角頻率 ;

參考 【數字信號處理】基本序列 ( 正弦序列 | 數字角頻率 ω | 模擬角頻率 Ω | 數字頻率 f | 模擬頻率 f0 | 采樣頻率 Fs | 采樣周期 T ) 博客 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换与反变换 | 序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系 | 序列傅里叶变换性质 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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