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• 一、傅里葉變換物理意義

一、傅里葉變換物理意義

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$x(n)$ 序列 的 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 的 物理意義 :

傅里葉變換 : 根據 $x(n)$ 求 $X(e^{j\omega })$ ,

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

傅里葉反變換 : 根據 $X(e^{j\omega })$ 求 $x(n)$ ,

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

注意上面的

• $x(n)$ 是 序列 ,
• $X(e^{j\omega })$ 是 傅里葉變換 ;

傅里葉變換 物理意義 是 反應 信號 在 整個 數字角頻率 $\omega$ 上的 能量 分布 的情況 ;

任何一個周期函數 , 都可以使用 $\sin$ 函數來組合 ;

任何一個函數 $x(n)$ 序列 , 都可以使用

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

表示 ,

其中 $e^{j\omega k}$ 是 單位復指數序列 ,

$X(e^{j\omega })$ 是傅里葉變換 ,

${\int }_{?\pi }^{\pi }$ 積分 表示 求和的極限過程 , 無數個 " 數字角頻率 $\omega$ " 在 $[?\pi ,\pi ]$ 中 帶有不同 加權系數 的 " 單位復指數序列 $e^{j\omega n}$ " 求和過程 ;

這些 " 復指數序列 " 代表 不同的 " 頻率分量 " ,

加權系數 $X(e^{j\omega })$ 稱為 $x(n)$ 的 " 頻譜密度函數 " ;

" $x(n)$ 序列 " 的 " 序列傅里葉變換 $SFT=X(e^{j\omega })$ " , 本質上是 該 " $x(n)$ 序列 " 的一種分解 ;

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$\cos {\omega }_{0}T$ 的 傅里葉變換 :

信號的所有能量都集中在 ${\omega }_0$ 上 ,

傅里葉變換 反應 信號能量 在 頻率 上的分布情況 ,

如果能量無窮 , 則在某個頻率點的值是 無窮的 ;

總結

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