文章目錄

• 一、求 1 的傅里葉反變換
• • 0、周期 2π 的單位脈沖函數(shù)
  • 1、問題分析
  • 2、涉及公式介紹
  • 3、1 的傅里葉反變換
  • 4、1 的傅里葉反變換

一、求 1 的傅里葉反變換

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已知 傅里葉變換

$$X(e^{j\omega })=2\pi \delta (\omega )$$

求該 傅里葉變換的 反變換

$$ISFT[X(e^{j\omega })]$$

0、周期 2π 的單位脈沖函數(shù)

單位脈沖函數(shù) ( 單位沖擊函數(shù) ) 對應(yīng)的 函數(shù)圖像 如下 : 橫軸是 $n$ , 縱軸是 $\delta (n)$ ;

• $n=0$ 時(shí) , $\delta (n)=1$
• $n=1$ 時(shí) , $\delta (n)=0$
  

如果寫成 $\delta (\omega )$ 樣式 , 說明該 單位脈沖函數(shù) 是以 $2\pi$ 為周期的 , $\delta (\omega )$ 可以寫成如下式子 :

$$\delta (\omega )=\sum _{m=?\infty }^{\infty }\delta (\omega ?2\pi m)$$

$m$ 取值 $(?\infty ,+\infty )$ ;

其函數(shù)圖像如下樣式 :

1、問題分析

求 1 的 傅里葉變換 SFT , 無法直接求出 , 這里求其 傅里葉反變換 ;

$\delta (\omega )$ 序列如下圖所示 :

除了在 $0$ 位置外 , 在 $2\pi ,4\pi ,6\pi$ 等位置 , 都是 無限沖激響應(yīng) ,

其物理意義是 所有的能量 , 都集中在 $\omega =0$ 位置上 ;

周期信號 信息 都在其 周期組織區(qū)間內(nèi) , 其它區(qū)間都是周期性重復(fù)的 , 因此這里只分析 $[?\pi ,\pi ]$ 之間的信號 ;

$\delta (\omega )$ 的物理意義是 所有的能量 都集中在 $\omega =0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,?$ 位置上 ;

2、涉及公式介紹

傅里葉變換 : 時(shí)域 " 離散非周期 " 信號 , 其頻域就是 " 連續(xù)周期 " 的 , 其頻域 可以 展開成一個(gè) " 正交函數(shù)的無窮級數(shù)加權(quán)和 " , 如下公式

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

傅里葉反變換 : 利用 " 正交函數(shù) " 可以推導(dǎo)出 " 傅里葉反變換 " , 即 根據(jù) 傅里葉變換 推導(dǎo) 序列 ;

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

3、1 的傅里葉反變換

將

$$X(e^{j\omega })=2\pi \delta (\omega )$$

帶入到

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

傅里葉反變換 公式中 , 可以得到如下公式 :

$$ISFT[X(e^{j\omega })]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{?\pi }^{\pi }2\pi \delta (\omega )e^{j\omega k}d\omega$$

$?\pi$ ~ $\pi$ 之間 , 只有 $\omega =0$ 點(diǎn)有值為 $1$ , 其它點(diǎn)都為 $0$ ,

• 當(dāng) $\omega =0$ 時(shí) , 結(jié)果是 $2\pi$
• 當(dāng) $\omega =0$ 時(shí) , $\delta (\omega )=0$ , 結(jié)果都是 $0$ ;

因此 ,

$${\int }_{?\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}=1$$

可得到下面的式子 :

$$ISFT[X(e^{j\omega })]=\frac{1}{2\pi }\times 2\pi =1$$

其中 , $k$ 取值 $(?\infty ,+\infty )$ ;

4、1 的傅里葉反變換

最終可以得到一個(gè)公式 , 傅里葉變換如下 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

使用 $1$ 替換上述 $x(n)$ , 可以得到 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{?j\omega n}$$

結(jié)合本博客中的示例 : $1$ 的傅里葉變換如下 ,

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }{e}^{?j\omega n}=2\pi \delta (\omega )$$

總結(jié)

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