文章目錄

• 一、傅里葉變換線性性質(zhì)
• 二、傅里葉變換時(shí)移性質(zhì)
• • 證明過程

一、傅里葉變換線性性質(zhì)

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傅里葉變換 線性性質(zhì) :

兩個(gè)序列之和 的 傅里葉變換 ,

等于

兩個(gè)序列 的 傅里葉變換 之和 ;

$$SFT[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]=aSFT[x_1(n)]+bSFT[x_2(n)]$$

代入 傅里葉變換 公式

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

得到 :

$$SFT[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]=a{X}_1(e^{j\omega })+b{X}_2(e^{j\omega })$$

二、傅里葉變換時(shí)移性質(zhì)

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傅里葉變換時(shí)移性質(zhì) :

序列信號(hào) 在 " 時(shí)間 " 上 , 進(jìn)行一系列 " 平移 " 之后 ,

平移 只是影響 序列信號(hào)傅里葉變換 的 " 相頻特性 " ,

平移 沒有影響 序列信號(hào)傅里葉變換 的 " 幅頻特性 " ;

$x(n)$ 序列 線性移位 $?n_0$ 后 為 $x(n?n_0)$ ,

$x(n?n_0)$ 序列的 傅里葉變換 $SFT[x(n?n_0)]$ 是

原來的 $x(n)$ 序列 的 傅里葉變換 $SFT[x(n)]$ 乘以 $e^{?j\omega n_0}$ ;

使用公式表示為 :

$$SFT[x(n?n_0)]=e^{?j\omega n_0}X(e^{j\omega })$$

證明過程

傅里葉變換公式為 :

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

$x(n)$ 序列 , 在時(shí)間維度 $n$ 的基礎(chǔ)上 , 平移 $n_0$ , 得到的序列是 $x(n?n_0)$ ,

代入 傅里葉變換 公式后得到 :

$$SFT[x(n?n_0)]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n?n_0)e^{?j\omega n}$$

令 $n^{\prime }=n?n_0$ , 則有 $n=n^{\prime }+n_0$ , 代入到上面的式子中 :

$$SFT[x(n?n_0)]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n^{\prime })e^{?j\omega (n^{\prime }+n_0)}$$

展開 $e^{?j\omega (n^{\prime }+n_0)}$ 得到 :

$$SFT[x(n?n_0)]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n^{\prime })e^{?j\omega n^{\prime }}{e}^{?j\omega n_0}①$$

傅里葉變換公式為 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

使用 $n^{\prime }$ 替換上面公式中的 $n$ , 可得到 ;

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n^{\prime })e^{?j\omega n^{\prime }}②$$

將 ② 帶入到 ① 中 , 可以得到

$$SFT[x(n?n_0)]=X(e^{j\omega })e^{?j\omega n_0}$$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换线性性质 | 傅里叶变换时移性质 )的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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