文章目錄

• 一、傅里葉變換線性性質
• 二、傅里葉變換時移性質
• • 證明過程

一、傅里葉變換線性性質

---

傅里葉變換 線性性質 :

兩個序列之和 的 傅里葉變換 ,

等于

兩個序列 的 傅里葉變換 之和 ;

$$SFT[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]=aSFT[x_1(n)]+bSFT[x_2(n)]$$

代入 傅里葉變換 公式

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

得到 :

$$SFT[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]=a{X}_1(e^{j\omega })+b{X}_2(e^{j\omega })$$

二、傅里葉變換時移性質

---

傅里葉變換時移性質 :

序列信號 在 " 時間 " 上 , 進行一系列 " 平移 " 之后 ,

平移 只是影響 序列信號傅里葉變換 的 " 相頻特性 " ,

平移 沒有影響 序列信號傅里葉變換 的 " 幅頻特性 " ;

$x(n)$ 序列 線性移位 $?n_0$ 后 為 $x(n?n_0)$ ,

$x(n?n_0)$ 序列的 傅里葉變換 $SFT[x(n?n_0)]$ 是

原來的 $x(n)$ 序列 的 傅里葉變換 $SFT[x(n)]$ 乘以 $e^{?j\omega n_0}$ ;

使用公式表示為 :

$$SFT[x(n?n_0)]=e^{?j\omega n_0}X(e^{j\omega })$$

證明過程

傅里葉變換公式為 :

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

$x(n)$ 序列 , 在時間維度 $n$ 的基礎上 , 平移 $n_0$ , 得到的序列是 $x(n?n_0)$ ,

代入 傅里葉變換 公式后得到 :

$$SFT[x(n?n_0)]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n?n_0)e^{?j\omega n}$$

令 $n^{\prime }=n?n_0$ , 則有 $n=n^{\prime }+n_0$ , 代入到上面的式子中 :

$$SFT[x(n?n_0)]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n^{\prime })e^{?j\omega (n^{\prime }+n_0)}$$

展開 $e^{?j\omega (n^{\prime }+n_0)}$ 得到 :

$$SFT[x(n?n_0)]=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n^{\prime })e^{?j\omega n^{\prime }}{e}^{?j\omega n_0}①$$

傅里葉變換公式為 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

使用 $n^{\prime }$ 替換上面公式中的 $n$ , 可得到 ;

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n^{\prime })e^{?j\omega n^{\prime }}②$$

將 ② 帶入到 ① 中 , 可以得到

$$SFT[x(n?n_0)]=X(e^{j\omega })e^{?j\omega n_0}$$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 傅里叶变换线性性质 | 傅里叶变换时移性质 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。