文章目錄

• 一、序列實偶 傅里葉變換 實偶
• 二、序列實奇 傅里葉變換 虛奇
• 三、證明 " 序列實奇 傅里葉變換 虛奇 "
• • 1、前置公式定理
  • • ①、序列實部傅里葉變換
    • ②、序列虛部傅里葉變換
    • ③、共軛對稱序列傅里葉變換
    • ④、共軛反對稱序列傅里葉變換
  • 2、證明過程
  • • 實序列 傅里葉變換
    • 奇對稱序列 傅里葉變換
    • 實序列 奇對稱序列 的 傅里葉變換 虛奇 特征

一、序列實偶 傅里葉變換 實偶

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如果 $x(n)$ 序列 是 " 實序列 " , " 偶對稱的 " , 則其傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 也是 " 實序列 " , " 偶對稱的 " ;

二、序列實奇 傅里葉變換 虛奇

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如果 $x(n)$ 序列 是 " 實序列 " , " 奇對稱的 " , 則其傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 也是 " 虛序列 " , " 奇對稱的 " ;

三、證明 " 序列實奇 傅里葉變換 虛奇 "

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1、前置公式定理

①、序列實部傅里葉變換

$x(n)$ 序列的 實部 $x_R(n)$ 的 傅里葉變換 , 就是 $x(n)$ 的 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 的 共軛對稱序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里葉變換 $X_e(e^{j\omega })$ 具備 共軛對稱性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_e(e^{j\omega })$$

②、序列虛部傅里葉變換

$x(n)$ 序列的 虛部 $x_I(n)$ 的 傅里葉變換 , 就是 $x(n)$ 的 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 的 共軛反對稱序列 $X_o(e^{j\omega })$;

$j{x}_I(n)$ 的 傅里葉變換 $X_o(e^{j\omega })$ 具備 共軛反對稱性 :

$$j{x}_I(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_o(e^{j\omega })$$

③、共軛對稱序列傅里葉變換

$x(n)$ 的 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 的 傅里葉變換 , 一定是一個 實序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_R(e^{j\omega })$$

④、共軛反對稱序列傅里葉變換

$x(n)$ 的 共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 的 傅里葉變換 , 一定是一個 純虛序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_o(n)\stackrel{SFT}{?}j{X}_I(e^{j\omega })$$

2、證明過程

實序列 傅里葉變換

$x(n)$ 為 " 實序列 " ,

根據 $x(n)$ 序列的 實部 $x_R(n)$ 的 傅里葉變換 , 就是 $x(n)$ 的 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 的 共軛對稱序列 $X_e(e^{j\omega })$; $x_R(n)$ 的 傅里葉變換 $X_e(e^{j\omega })$ 具備 共軛對稱性 的特征 :

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_e(e^{j\omega })$$

性質 , 其 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 有如下特性 :

$$X(e^{j\omega })=X^{?}(e^{?j\omega })$$

奇對稱序列 傅里葉變換

$x(n)$ 序列是 " 奇對稱 " 的 ,

根據 $x(n)$ 的 共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 的 傅里葉變換 , 一定是一個 純虛序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_o(n)\stackrel{SFT}{?}j{X}_I(e^{j\omega })$$

性質 , 其 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 有如下特性 :

$$X(e^{j\omega })=j{X}_I(e^{j\omega })$$

前面加了 $j$ , 說明 $X_I(e^{j\omega })$ 是實的 , $j{X}_I(e^{j\omega })$ 是虛的 ;

實序列 奇對稱序列 的 傅里葉變換 虛奇 特征

結合上述 " 實序列 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })=X^{?}(e^{?j\omega })$ " 和 " 奇對稱序列 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })=j{X}_I(e^{j\omega })$ " ,

對 $j{X}_I(e^{j\omega })$ 取共軛 , 然后將 $\omega$ 取反 , 可得到

$$X^{?}(e^{?j\omega })=j{X}_I(e^{j\omega })=?j{X}_I(e^{?j\omega })$$

將 $j{X}_I(e^{j\omega })=?j{X}_I(e^{?j\omega })$ 中的 $j$ 去掉 , 可得到

$$X_I(e^{j\omega })=?X_I(e^{?j\omega })$$

$X_I(e^{j\omega })$ 和 $?X_I(e^{?j\omega })$ 都是實數 , 這是奇函數的特征 ;

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總結

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