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【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 推论 )

發(fā)布時間：2025/6/17 编程问答 30 豆豆

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文章目錄

一、序列傅里葉變換共軛對稱性質(zhì) 推論
二、證明推論一

一、序列傅里葉變換共軛對稱性質(zhì) 推論

推論一 : 序列 $x (n)$ 的共軛序列 $x^*(n)$ 的傅里葉變換 :

$x?(n)?SFTX?(e?jω)x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega})$

推論二 : 原序列為 $x (n)$ , 則 $x^*(-n)$ 的傅里葉變換 :

$x?(?n)?SFTX?(ejω)x^*(-n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{j \omega})$

二、證明推論一

證明推論一 : 序列 $x (n)$ 的共軛序列 $x^*(n)$ 的傅里葉變換 :

$x?(n)?SFTX?(e?jω)x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega})$

根據(jù) 傅里葉變換的公式 :

$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}$

以及共軛的性質(zhì) :

$a + b )^* = a^* + b^*$

$x (n)$ 的傅里葉變換為 :

$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{-j \omega n}$

$x^*(n)$ 的傅里葉變換為 :

$SFT[x?(n)]=∑n=?∞+∞x?(n)e?jωnSFT[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{-j \omega n}$

將共軛提取到外部 , $e?jωne^{-j \omega n}$ 就變成 $ejωne^{j \omega n}$ 了 , 可得到 :

$SFT[x?(n)]=∑n=?∞+∞x?(n)e?jωn=[∑n=?∞+∞x(n)ejωn]?SFT[x^*(n)] = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) e^{-j \omega n} = [ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(n) e^{j \omega n} ] ^*$

最終得到 :

$x?(n)?SFTX?(e?jω)x^*(n) \overset{SFT}\longleftrightarrow X^*(e^{-j \omega})$

總結(jié)

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