文章目錄

• 一、序列傅里葉變換共軛對稱性質示例
• • 1、序列傅里葉變換共軛對稱性質
  • • 1、序列實部傅里葉變換
    • 2、序列虛部傅里葉變換
    • 3、共軛對稱序列傅里葉變換
    • 4、共軛反對稱序列傅里葉變換
• 2、求 a^n u(n) 的傅里葉變換
• 3、序列分析

一、序列傅里葉變換共軛對稱性質示例

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$x(n)=a^{n}u(n)$ , 且 $|a|<1$

1、序列傅里葉變換共軛對稱性質

1、序列實部傅里葉變換

$x(n)$ 序列的 實部 $x_R(n)$ 的 傅里葉變換 , 就是 $x(n)$ 的 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 的 共軛對稱序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里葉變換 $X_e(e^{j\omega })$ 具備 共軛對稱性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_e(e^{j\omega })$$

2、序列虛部傅里葉變換

$x(n)$ 序列的 虛部 $x_I(n)$ 的 傅里葉變換 , 就是 $x(n)$ 的 傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 的 共軛反對稱序列 $X_o(e^{j\omega })$;

$j{x}_I(n)$ 的 傅里葉變換 $X_o(e^{j\omega })$ 具備 共軛反對稱性 :

$$j{x}_I(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_o(e^{j\omega })$$

3、共軛對稱序列傅里葉變換

$x(n)$ 的 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 的 傅里葉變換 , 一定是一個 實序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_R(e^{j\omega })$$

4、共軛反對稱序列傅里葉變換

$x(n)$ 的 共軛反對稱序列 $x_o(n)$ 的 傅里葉變換 , 一定是一個 純虛序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_o(n)\stackrel{SFT}{?}j{X}_I(e^{j\omega })$$

2、求 a^n u(n) 的傅里葉變換

根據 傅里葉變換公式 計算 $x(n)$ 的傅里葉變換 , 公式如下 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

將

$$a^{n}u(n)$$

序列 , 直接帶入到

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=?\infty }^{+\infty }x(n)e^{?j\omega n}$$

傅里葉變換公式中 , 可得到 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}^n{e}^{?j\omega n}$$

根據 " 等比級數求和 " 公式 , 可以得到

$$X(e^{j\omega })=\frac{1}{1?a{e}^{?j\omega }}$$

3、序列分析

該信號 $x(n)$ 是實信號 , 該信號既不是偶對稱的 , 也不是奇對稱的 ;

• 只有序列是偶對稱時 , 才有 $x_e(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_R(e^{j\omega })$ 性質 ,

• 只有序列是奇對稱時 , 才有 $x_o(n)\stackrel{SFT}{?}j{X}_I(e^{j\omega })$ 性質 ;

因此 , 這里 $x(n)$ 的傅里葉變換 , 既不是實數 , 也不是虛數 , 那么就一定是復數 ;

分析 $x(n)$ 的傅里葉變換 復數序列的 實部 和 虛部 :

由于 $x(n)=a^{n}u(n)$ 序列是實數 ,

其 傅里葉變換

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\frac{1}{1?a{e}^{?j\omega }}$$

一定是共軛對稱的 ;

分解 $SFT[x(n)]$ 的實部和虛部 :

$$X(e^{j\omega })=\frac{1?a\cos \omega }{1+a^2?2a\cos \omega }?j\frac{a\sin \omega }{1+a^2?2a\cos \omega }$$

共軛對稱 的 傅里葉變換 , 實部是 偶對稱的 , 虛部是 奇對稱 的 ;

傅里葉變換的 模 , 即 傅里葉變換 取絕對值 $|X(e^{j\omega })|$ , 是偶對稱的 ;

$$|X(e^{j\omega })|=\frac{1}{(1+a^2?2a\cos \omega {)}^{\frac{1}{2}}}$$

根據如下定理 : $x(n)$ 的 共軛對稱序列 $x_e(n)$ 的 傅里葉變換 , 一定是一個 實序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{?}{X}_R(e^{j\omega })$$

可得 : 傅里葉變換的 實部 $\frac{1?a\cos \omega }{1+a^2?2a\cos \omega }$ 的 傅里葉反變換 , 對應的是 $x(n)$ 的共軛對稱分量 ;

傅里葉變換的 虛部 $?j\frac{a\sin \omega }{1+a^2?2a\cos \omega }$ 的 傅里葉反變換 , 對應的是 $x(n)$ 的共軛反對稱分量 ;

在 【數字信號處理】傅里葉變換性質 ( 序列對稱分解定理示例 | 共軛對稱序列與原序列之間的關系 | 共軛反對稱序列與原序列之間的關系 ) 博客中 , 推導了 共軛對稱序列 與原序列的關系 , 這里當做一個先決的條件 , 之后需要使用 ;

實因果序列的對稱序列與原序列關系 : 先將結果放在這里 , 之后需要使用 ;

$h_e(n)$ 與 $h(n)$ 關系 :

$$h_e(n)=?\begin{array}{ll}h(0)& n=0\\ & \\ \frac{h(n)}{2}& n>0\\ & \\ \frac{h(?n)}{2}& n<0\end{array}$$

$h_o(n)$ 與 $h(n)$ 關系 :

$$h_o(n)=?\begin{array}{ll}0& n=0\\ & \\ \frac{h(n)}{2}& n>0\\ & \\ \frac{?h(?n)}{2}& n<0\end{array}$$

下面繼續分析上述序列 :

下面的序列 $x_e(n)$ 為實偶 ,

$$x_e(n)=?\begin{array}{ll}1& n=0\\ & \\ \frac{a^n}{2}& n>0\\ & \\ \frac{a^{?n}}{2}& n<0\end{array}$$

根據如下定理 :

如果 $x(n)$ 序列 是 " 實序列 " , " 偶對稱的 " , 則其傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 也是 " 實序列 " , " 偶對稱的 " ;

則 $x_e(n)$ 的 傅里葉變換 $X_R(e^{j\omega })$ 也是 實偶 的 ;

下面的序列 $x_o(n)$ 為實奇 ,

$$x_o(n)=?\begin{array}{ll}0& n=0\\ & \\ \frac{a^n}{2}& n>0\\ & \\ ?\frac{a^{?n}}{2}& n<0\end{array}$$

根據如下定理 :

如果 $x(n)$ 序列 是 " 實序列 " , " 奇對稱的 " , 則其傅里葉變換 $X(e^{j\omega })$ 也是 " 虛序列 " , " 奇對稱的 " ;

則 $x_o(n)$ 的 傅里葉變換 $j{X}_I(e^{j\omega })$ 也是 虛奇 的 ;

原序列 $x(n)$ 圖像如下 :

$x(?n)$ 圖像 , 就是將 $x(n)$ 圖像 , 以 $y$ 軸為中心進行鏡像 :

$x(n)$ 序列的 共軛對稱分量 $x_e(n)$ 就是 $x(n)$ 與 $x(?n)$ 相加 , 除以 $2$ :

$$x_e(n)=\frac{x(n)+x(?n)}{2}$$

$x(n)$ 序列的 共軛反對稱分量 $x_o(n)$ 就是 $x(n)$ 與 $x(?n)$ 相減 , 除以 $2$ :

$$x_o(n)=\frac{x(n)?x(?n)}{2}$$

$x(n)$ 的模 圖像如下 , 是偶對稱的 ;

$x(n)$ 的 實部 圖像如下 , 是偶對稱的 ;

$x(n)$ 的 虛部 圖像如下 , 是奇對稱的 ;

$x(n)$ 的 相位 圖像如下 , 是奇對稱的 ;

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 )的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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